3. В равнобедренном треугольнике один из углов равен 120°. Основание биссектрисы данного угла удалено от одной из сторон треугольника на расстояние, равное 12 см. Найдите основание данного треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если угол при основании равен 120°, то сумма двух углов при основании будет 240°, что больше 180°. Следовательно, угол при вершине равен 120°. Тогда углы при основании равны (180° - 120°)/2 = 30°. Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, угол B = 120°, угол A = угол C = 30°. BD - биссектриса угла B. Так как BD - биссектриса, то угол ABD = угол CBD = 120°/2 = 60°. Расстояние от точки D до стороны BC равно 12 см. Это расстояние является перпендикуляром, опущенным из точки D на сторону BC. Пусть DE - перпендикуляр к BC, DE = 12 см. Треугольник BDE - прямоугольный, угол DEB = 90°, угол DBE = 60°, тогда угол BDE = 90° - 60° = 30°. Рассмотрим треугольник BDE. sin(DBE) = DE/BD. sin(60°) = $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$. Тогда $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ = 12/BD. BD = $$\frac{24}{\sqrt{3}}$$ = $$8\sqrt{3}$$ см. Так как BD - биссектриса угла B, то она является высотой и медианой. Следовательно, AD = DC, и AC = 2AD. Рассмотрим треугольник ABD. Угол BAD = 30°, угол ABD = 60°, угол ADB = 90°. tg(ABD) = AD/BD. tg(60°) = $$\sqrt{3}$$. Тогда $$\sqrt{3}$$ = AD/($$8\sqrt{3}$$). AD = $$8\sqrt{3} * \sqrt{3}$$ = 24 см. AC = 2 * 24 = 48 см. Ответ: Основание треугольника равно 48 см.