В равнобедренном треугольнике один из углов равен 120°. Высота, проведенная к основанию, равна 3√3. Найдите длину одной из оставшихся высот. h =

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где угол B равен 120°. Высота, проведенная к основанию AC, пусть будет BH, и она равна $$3\sqrt{3}$$. Необходимо найти длину высоты, проведенной к боковой стороне, например, AK.

1. Так как треугольник ABC равнобедренный, углы при основании равны: $$\angle A = \angle C = (180° - 120°) / 2 = 30°$$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем $$\angle A = 30°$$, BH - катет, противолежащий углу A. Тогда гипотенуза AB равна $$\frac{BH}{\sin A} = \frac{3\sqrt{3}}{\sin 30°} = \frac{3\sqrt{3}}{0.5} = 6\sqrt{3}$$.

3. Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами: как половину произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию. С одной стороны, $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$$. С другой стороны, $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AK$$. Так как BC = AB, то $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AK$$.

4. Приравняем оба выражения для площади: $$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AK$$. Тогда $$AC \cdot BH = AB \cdot AK$$, откуда $$AK = \frac{AC \cdot BH}{AB}$$.

5. Найдем AC. Из прямоугольного треугольника ABH: $$\frac{AH}{AB} = \cos A$$, следовательно, $$AH = AB \cdot \cos A = 6\sqrt{3} \cdot \cos 30° = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9$$. Тогда $$AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 9 = 18$$.

6. Подставим известные значения: $$AK = \frac{18 \cdot 3\sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = \frac{18 \cdot 3}{6} = 3 \cdot 3 = 9$$.

Ответ: 9