В равнобедренном треугольнике основание равно a, а угол при основании — α. Найдите боковую сторону треугольника и биссектрису треугольника, проведённую из вершины угла при основании.

Обозначим боковую сторону через \(b\). Основание длины \(a\) лежит напротив угла при вершине, равного \(180^\circ-2\alpha\).

1. По теореме синусов:

   \[\frac{b}{\sin\alpha}=\frac{a}{\sin(180^\circ-2\alpha)}=\frac{a}{\sin 2\alpha}.\]

2. Так как \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\), получаем:

   \[b=\frac{a\sin\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{a}{2\cos\alpha}.\]

3. Пусть \(l\) — биссектриса угла при основании. Формула длины биссектрисы из вершины угла \(\alpha\):

   \[l=\frac{2ab\cos\frac{\alpha}{2}}{a+b}.\]

4. Подставим найденное значение \(b=\frac{a}{2\cos\alpha}\):

   \[l=\frac{2a\cdot\frac{a}{2\cos\alpha}\cos\frac{\alpha}{2}}{a+\frac{a}{2\cos\alpha}}=\frac{2a\cos\frac{\alpha}{2}}{1+2\cos\alpha}.\]

Ответ: боковая сторона \(\displaystyle \frac{a}{2\cos\alpha}\); биссектриса из вершины угла при основании \(\displaystyle \frac{2a\cos\frac{\alpha}{2}}{1+2\cos\alpha}\).