В равнобедренном треугольнике с основанием АС, длина которого 84 см, проведена биссектриса ВМ угла АВС. Используя второй признак равенства треугольников, докажите, что отрезок ВМ является медианой, а также определите длину отрезка АМ.

Решение:

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС, проведена биссектриса ВМ.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ДАВМ и ДСВМ:

1. Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то \( \angle A = \angle C \).
2. Так как ВМ — биссектриса, то \( \angle ABM = \angle CBM \).
3. Стороны АВ и СВ у треугольников ДАВМ и ДСВМ равны, так как данный \( \triangle ABC \) — равнобедренный.

По второму признаку равенства треугольников \( \triangle ABM = \triangle CBM \) (по стороне и двум прилежащим углам).

Значит, равны все соответствующие элементы, в том числе стороны АМ = СМ. А это означает, что отрезок ВМ является медианой данного треугольника и делит сторону АС пополам.

АС = 84 см.

Так как АМ = СМ, то \( AM = \frac{AC}{2} \).

\( AM = \frac{84}{2} = 42 \) см.

Ответ: Отрезок ВМ является медианой, так как \( \triangle ABM = \triangle CBM \) по второму признаку равенства треугольников (сторона и два прилежащих угла). Длина отрезка АМ равна 42 см.