В равнобедренном треугольнике точка касания вписанной окружности делит боковую сторону на отрезки длиной 12 см и 3 см, считая от основания. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC. Окружность вписана в этот треугольник и касается стороны AB в точке K так, что AK = 12 см и KB = 3 см. Необходимо найти площадь треугольника ABC. 1. Находим длину боковой стороны: (AB = AK + KB = 12 + 3 = 15) см. 2. Поскольку треугольник равнобедренный, (AB = BC = 15) см. 3. Пусть окружность касается стороны AC в точке M. Обозначим (AM = x). 4. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, имеем: (AK = AM = 12) см и (CM = CB = 3) см. Следовательно, (AC = AM + MC = 12 + 3 = 15) см. 5. Теперь мы знаем все стороны треугольника: (AB = BC = 15) см и (AC = 15) см. Значит, треугольник ABC равносторонний, все стороны равны 15 см. 6. Для нахождения площади равностороннего треугольника со стороной a используем формулу: (S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}) 7. Подставляем значение стороны (a = 15) см: (S = \frac{15^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{225 \sqrt{3}}{4}) см(^2). Ответ: Площадь треугольника равна $$\frac{225 \sqrt{3}}{4}$$ см(^2).