В равнобедренном треугольнике центр вписанного круга делит высоту, проведённую к основанию, в отношении 12:5, считая от вершины треугольника, а боковая сторона 60. Найдите основание треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC = 60, а высоту, проведенную к основанию AC, обозначим BD. Центр вписанной окружности O лежит на BD и делит BD в отношении 12:5, считая от вершины B. Пусть BO = 12x, OD = 5x.

Обозначим AD = DC = a (так как BD - высота и медиана). Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора:

$$AD^2 + BD^2 = AB^2$$

$$a^2 + (12x + 5x)^2 = 60^2$$

$$a^2 + (17x)^2 = 3600$$

$$a^2 + 289x^2 = 3600$$ (1)

Так как O - центр вписанной окружности, то радиус вписанной окружности равен OD = 5x.
Площадь треугольника ABC можно выразить двумя способами:

$$S = \frac{1}{2} * AC * BD = \frac{1}{2} * 2a * 17x = 17ax$$

Также площадь можно выразить через полупериметр и радиус вписанной окружности:

$$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{60 + 60 + 2a}{2} = 60 + a$$

$$S = p * r = (60 + a) * 5x = 300x + 5ax$$

Приравниваем два выражения для площади:

$$17ax = 300x + 5ax$$

$$12ax = 300x$$

$$a = \frac{300x}{12x} = 25$$

Теперь подставим значение a в уравнение (1):

$$25^2 + 289x^2 = 3600$$

$$625 + 289x^2 = 3600$$

$$289x^2 = 2975$$

$$x^2 = \frac{2975}{289} = \frac{25 * 119}{289} = \frac{25 * 7 * 17}{17 * 17} = \frac{175}{17}$$

$$x = \sqrt{\frac{175}{17}} = 5\sqrt{\frac{7}{17}}$$

Тогда $$AC = 2a = 2 * 25 = 50$$.

Ответ: 50