3. В равнобедренном треугольнике ZAB с основанием ZB проведена медиана АN. Угол ZAN равен 39°. Найдите ZZAB и ∠BNA. 4. В равнобедренном треугольнике НМР с основанием НМ на стороне НР взята точка Х, а на стороне МР - точка Т так, что РХ = РТ. Докажите, что ДНТΡ = ΔΜΧΡ. 5. В равнобедренном треугольнике NMF с основанием ММ на стороне NF взята точка Р, а на стороне MF - точка S так, что FP = FS. Докажите, что ANSM = AMPN. 6. В равнобедренном треугольнике DFN с основанием DN проведена медиана FB, на которой взята точка Р. Докажите, что ADRF = ANRF. 7. В равнобедренном треугольнике NZO с основанием NO проведена медиана ZP, на которой взята точка Н. Докажите, что ΔΝΗΡ = ΔΟΗΡ. 8. Биссектриса DR является высотой треугольника HDB, а периметр треугольника HDR равен 15 см. Найдите периметр треугольника HDB, если DR = 3 см.

Давай разберем по порядку каждое задание.

3. Решение

В равнобедренном треугольнике ZAB с основанием ZB, медиана AN проведена к боковой стороне. Угол ZAN равен 39°. Нужно найти углы ∠ZAB и ∠BNA.

1. Так как треугольник ZAB равнобедренный с основанием ZB, то углы при основании равны: ∠Z = ∠B.

2. AN - медиана, значит, она делит сторону ZB пополам. Но так как треугольник равнобедренный, медиана, проведенная к боковой стороне, не является высотой или биссектрисой.

3. Рассмотрим треугольник ZAN. Сумма углов в треугольнике равна 180°. ∠ZAN = 39°. Обозначим ∠Z = x. Тогда ∠ANB = 180 - (39 +x). Поскольку углы при основании равнобедренного треугольника равны, то ∠Z = ∠B = x.

4. В треугольнике ZAB, ∠ZAB + ∠Z + ∠B = 180°. ∠ZAB + x + x = 180°. ∠ZAB = 180 - 2x. Так как AN - медиана, ∠ZAB = ∠ZAN + ∠NAB. 39 + ∠NAB = 180 - 2x. ∠NAB = 141 - 2x.

5. Рассмотрим треугольник ANB. ∠ANB + ∠NAB + ∠B = 180°. ∠ANB + (141 - 2x) + x = 180°. ∠ANB = 39 + x.

6. Так как ∠ANB смежный с углом ∠ANB, то ∠ANB + ∠BNA = 180°. Значит ∠BNA = 180 - ∠ANB = 180 - (39 + x) = 141 - x. Из треугольника ZAB: ∠ZAB + ∠Z + ∠B = 180, ∠ZAB + x + x = 180, ∠ZAB = 180 - 2x. Угол ZAN = 39, следовательно ∠NAB = ∠ZAB - ∠ZAN = 180 - 2x - 39 = 141 - 2x. Рассмотрим треугольник ANB: ∠ANB + ∠NAB + ∠B = 180, ∠ANB + 141 - 2x + x = 180, ∠ANB = 39 + x, ∠ANB + ∠BNA = 180, ∠BNA = 180 - (39 + x) = 141 - x.

4. Решение

В равнобедренном треугольнике HMP с основанием HM, на стороне HP взята точка X, а на стороне MP - точка T так, что PX = PT. Нужно доказать, что ΔHTP = ΔMXP.

1. В равнобедренном треугольнике HMP, HP = MP. Так как PX = PT, то треугольник PXT - равнобедренный. Тогда ∠PXT = ∠PTX.

2. Так как HP = MP и PX = PT, то HX = MT (вычитаем из равных сторон равные отрезки). Рассмотрим треугольники HTP и MXP.

3. ∠H = ∠M (углы при основании равнобедренного треугольника HMP). HT = MX (доказано выше). PX = PT (по условию). Следовательно, ΔHTP = ΔMXP по двум сторонам и углу между ними.

5. Решение

В равнобедренном треугольнике NMF с основанием NM, на стороне NF взята точка P, а на стороне MF - точка S так, что FP = FS. Доказать, что ΔNSM = ΔMPN.

1. В равнобедренном треугольнике NMF, NM = NF. Так как FP = FS, то треугольник FPS - равнобедренный. Тогда ∠FPS = ∠FSP.

2. Так как NF = MF и FP = FS, то NP = MS (вычитаем из равных сторон равные отрезки). Рассмотрим треугольники NSM и MPN.

3. ∠N = ∠M (углы при основании равнобедренного треугольника NMF). NS = MP (доказано выше). FP = FS (по условию). Следовательно, ΔNSM = ΔMPN по двум сторонам и углу между ними.

6. Решение

В равнобедренном треугольнике DFN с основанием DN проведена медиана FB, на которой взята точка R. Нужно доказать, что ΔDRF = ΔNRF.

1. В равнобедренном треугольнике DFN, DF = NF. FB - медиана, проведенная к основанию DN, следовательно, она является высотой и биссектрисой. Значит, FB ⊥ DN и ∠DFB = ∠NFB.

2. Рассмотрим треугольники DRF и NRF. DF = NF (как боковые стороны равнобедренного треугольника). ∠DFB = ∠NFB (FB - биссектриса). RF - общая сторона. Следовательно, ΔDRF = ΔNRF по двум сторонам и углу между ними.

7. Решение

В равнобедренном треугольнике NZO с основанием NO проведена медиана ZP, на которой взята точка H. Доказать, что ΔNHP = ΔOHP.

1. В равнобедренном треугольнике NZO, NZ = OZ. ZP - медиана, проведенная к основанию NO, следовательно, она является высотой и биссектрисой. Значит, ZP ⊥ NO и ∠NZP = ∠OZP.

2. Рассмотрим треугольники NHP и OHP. NZ = OZ (как боковые стороны равнобедренного треугольника). ∠NZP = ∠OZP (ZP - биссектриса). ZP - общая сторона. Следовательно, ΔNHP = ΔOHP по двум сторонам и углу между ними.

8. Решение

Биссектриса DR является высотой треугольника HDB, а периметр треугольника HDR равен 15 см. Найдите периметр треугольника HDB, если DR = 3 см.

1. Так как DR - биссектриса и высота треугольника HDB, то треугольник HDB - равнобедренный (HD = DB). Следовательно, DR является также медианой. Значит, HR = RB.

2. Периметр треугольника HDR равен 15 см: HD + DR + HR = 15. Так как DR = 3 см, то HD + HR = 12.

3. Обозначим HR = x, тогда HD = 12 - x.

4. Так как HD = DB и HR = RB, то периметр треугольника HDB равен: HD + DB + HB = (12 - x) + (12 - x) + 2x = 24.

Ответ: 24 см.

У тебя все отлично получается! Не останавливайся на достигнутом, и ты сможешь решить любые задачи!