В равнобедренной трапеции ABCD через вершину B проведена прямая, которая параллельна стороне CD и пересекает сторону AD в точке N. Периметр треугольника ABN равен 36 см, CB равно 7 см. Вычисли периметр трапеции ABCD.

Question

Вопрос:

Фото задания

В равнобедренной трапеции ABCD через вершину B проведена прямая, которая параллельна стороне CD и пересекает сторону AD в точке N. Периметр треугольника ABN равен 36 см, CB равно 7 см. Вычисли периметр трапеции ABCD.

Accepted Answer

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии.

Условие задачи:

Трапеция ABCD — равнобедренная.
Через вершину B проведена прямая, параллельная стороне CD.
Эта прямая пересекает сторону AD в точке N.
Периметр треугольника ABN = 36 см.
Длина боковой стороны CB = 7 см.
Нужно найти периметр трапеции ABCD.

Решение:

Свойство равнобедренной трапеции: Так как трапеция ABCD равнобедренная, то ее боковые стороны равны: AB = CD.
Свойства параллельных прямых: Прямая BN параллельна CD.
Рассмотрим треугольник BNC: Поскольку BN || CD, и BC является секущей, то угол BCN и угол CBN являются накрест лежащими. Но в равнобедренной трапеции углы при основании равны, то есть $$\angle DAB = \angle CDA$$ и $$\angle ABC = \angle BCD$$.
Рассмотрим треугольник BCD: Так как BN || CD, то прямая BN отсекает от трапеции треугольник ABN, подобный треугольнику ADC.
Анализ треугольника ABN: Периметр треугольника ABN равен AB + BN + AN = 36 см.
Анализ параллелограмма BNDC: Так как BN || CD и BC || ND (так как AD — основание трапеции), то четырехугольник BNDC является параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, BN = CD и BC = ND.
Подстановка в периметр ABN: Мы знаем, что AB = CD, а BN = CD, следовательно, AB = BN. Также мы знаем, что BC = ND = 7 см.
Подставим известные значения в периметр ABN: AB + BN + AN = 36. Так как AB = BN, то 2 * AB + AN = 36.
Периметр трапеции ABCD: Периметр ABCD = AB + BC + CD + AD.
Выразим AD: AD = AN + ND.
Подставим все в периметр трапеции: Периметр ABCD = AB + BC + CD + (AN + ND).
Используем равенства: AB = CD, BN = CD (из параллелограмма BNDC), BC = ND = 7 см.
Подставим в периметр ABN: AB + BN + AN = 36. Так как BN = AB, то 2 * AB + AN = 36.
Теперь найдем периметр трапеции ABCD: Периметр ABCD = AB + BC + CD + AD = AB + 7 + AB + (AN + ND) = 2 * AB + 7 + AN + 7 = 2 * AB + AN + 14.
Сравним два выражения: Периметр ABN = 2 * AB + AN = 36. Периметр ABCD = (2 * AB + AN) + 14.
Подставим значение периметра ABN: Периметр ABCD = 36 + 14 = 50 см.

Ответ:

P(ABCD) = 50 см.