В равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD провели высоту СH. Отрезок ВН делит диагональ АС в отношении 7:4, считая от вершины А. Найдите длину AD, если ВС = 8.

Пошаговое решение:

• Обозначим точку пересечения BH и AC за O. По условию, AO : OC = 7 : 4. Пусть AO = 7x, OC = 4x.
• Рассмотрим треугольники AOH и COB. Угол AOH = углу COB (вертикальные углы). Угол HAO = углу BCO (накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC). Следовательно, треугольники AOH и COB подобны по двум углам.
• Из подобия треугольников AOH и COB следует, что AH / BC = AO / OC = 7 / 4. Так как BC = 8, то AH = (7/4) * BC = (7/4) * 8 = 14.
• В равнобедренной трапеции высоты, опущенные из вершин верхнего основания, отсекают равные отрезки на нижнем основании. Пусть BK — высота, опущенная из вершины B на основание AD. Тогда AK = HD.
• Так как AD = AH + HD, а HD = AK, то AD = AH + AK. Также AH = KD.
• Поскольку ABCD — равнобедренная трапеция, то AK = HD = (AD - BC) / 2. AD = BC + 2*AK
• Мы знаем, что AH = 14. Значит, KD = 14.
• Так как AD = AK + KD = KD + AH, а AK=(AD-BC)/2. Получаем: AD = KD + (AD-BC)/2. BC = 8, KD =AH = 14.
  • AD = 14 + (AD - 8)/2
  • 2AD = 28 + AD - 8
  • 2AD - AD = 20
  • AD = 20

Ответ: 20