В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD угол BCD — тупой. Через точку B проведена прямая, параллельная прямой CD и пересекающая прямую AD в точке E. На продолжении BE за точку E отмечена точка F такая, что DE = DF. а) Докажите, что точки A, F, C и D лежат на одной окружности. б) Найдите расстояние от точки C до прямой AF, если BD = 0 и cos ∠ADC = 0,6.

а) Введём координаты: пусть D=(0; 0), A=(L; 0), C=(x; h), B=(L−x; h), где h>0. Такое расположение соответствует равнобедренной трапеции с основаниями AD и BC.

Из условия cos ∠ADC = 0,6 = 3/5 получаем x/√(x²+h²)=3/5. Следовательно, x²/h²=9/16, то есть x=3k, h=4k для некоторого k>0.

Так как BE ∥ CD, а вектор CD=(x; h), точка пересечения E с AD имеет координаты (L−2x; 0). Обозначим e=L−2x=DE. Поскольку F лежит на продолжении BE за E, её координаты имеют вид F=(e−tx; −th), где t>0. Из DF=DE следует (e−tx)²+t²h²=e², откуда t=2ex/(x²+h²).

Окружность через D, A и C имеет уравнение X²+Y²−LX+qY=0, где q=(Lx−x²−h²)/h. Подставим координаты F и используем x=3k, h=4k: получаем X_F=7e/25 и Y_F=−24e/25. Тогда левая часть уравнения окружности для F равна e(25e−7L−24q)/25=0, поскольку e=L−6k и q=(3L−25k)/4. Значит, F лежит на окружности через A, C и D. Точки A, F, C и D лежат на одной окружности.

б) Условие BD=0 несовместимо с невырожденной трапецией: B и D должны быть различными вершинами, поэтому длина диагонали BD положительна. Следовательно, расстояние в пункте б) при указанных данных определить нельзя. Возможно, в условии число после BD прочитано неверно.

Ответ: а) A, F, C и D лежат на одной окружности; б) при BD=0 условие противоречиво, для численного ответа нужно уточнить значение BD.