В равнобедренной трапеции ABCD угол при основании AB равен α = 30°, расстояние от центра вписанной окружности до вершины C равно d. Найти радиус описанной окружности. Подтвердите: tg(α/2) = sin α / (1 + cos α).

Пусть радиус вписанной окружности равен r. Центр окружности лежит на биссектрисе угла при основании, поэтому в прямоугольном треугольнике с гипотенузой, равной расстоянию от центра до вершины, получаем:

\(d=\frac{r}{\sin(\alpha/2)}\), следовательно, \(r=d\sin(\alpha/2)\).

Обозначим боковую сторону трапеции через \(l\). Высота трапеции равна \(2r\), а \(2r=l\sin\alpha\), поэтому \(l=2r/\sin\alpha\).

Для равнобедренной трапеции, описанной около окружности, суммы противоположных сторон равны. Если основания равны \(a\) и \(b\), то \(a+b=2l\). Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции равен половине диагонали. По геометрии трапеции диагональ имеет длину \(l/\sin\alpha\); значит, \(R=l/(2\sin\alpha)=r/\sin^2\alpha\).

Подставляя \(r=d\sin(\alpha/2)\) и \(\alpha=30^\circ\), получаем:

\(R=\frac{d\sin15^\circ}{\sin^2 30^\circ}=4d\sin15^\circ=d(\sqrt6-\sqrt2)\).

Проверка тождества: \(\sin\alpha=2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)\), а \(1+\cos\alpha=2\cos^2(\alpha/2)\). Поэтому \(\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\tan(\alpha/2)\).

Ответ: \(R=d(\sqrt6-\sqrt2)\).