В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.

Решение:

Нам дана равнобедренная трапеция. Из рисунка видно, что:

• Высота трапеции \( h = 5 \).
• Меньшее основание \( b = 7 \).
• Угол при основании \( \alpha = 45^{\circ} \).

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему основанию. Эта высота образует прямоугольный треугольник с углом \( 45^{\circ} \) при основании.

В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета (высоты) к прилежащему катету (части большего основания).

Так как угол при основании равен \( 45^{\circ} \), то треугольник является равнобедренным (углы при основании равны 90°, 45°, 45°). Следовательно, прилежащий катет равен противолежащему катету, то есть высоте.

Пусть \( x \) — длина отрезка большего основания, прилегающего к высоте. Тогда \( x = h = 5 \).

В равнобедренной трапеции отрезки, отсекаемые высотами от большего основания, равны между собой. Обозначим эти отрезки как \( x \). Большее основание \( a \) равно сумме меньшего основания \( b \) и двух этих отрезков \( x \).

\( a = b + 2x \)

Подставим известные значения:

\( a = 7 + 2 \cdot 5 \)

\( a = 7 + 10 \)

\( a = 17 \)

Ответ: Большее основание трапеции равно 17.