В равнобедренной трапеции MNKL с основаниями 4 и 10 угол при большем основании равен 43°. Чему равна площадь трапеции?

Привет! Давай разберемся с этой задачкой по геометрии. Нам нужно найти площадь равнобедренной трапеции.

Что нам дано:

• Трапеция равнобедренная MNKL.
• Основания: a = 10 (большее), b = 4 (меньшее).
• Угол при большем основании: $$\alpha = 43^{\circ}$$.

Что нужно найти:

• Площадь трапеции (S).

Формула площади трапеции:

$$ S = \frac{a+b}{2} \cdot h $$

где 'a' и 'b' - основания, а 'h' - высота.

Как найти высоту?

Для этого нам нужно провести высоту из вершины меньшего основания к большему. В равнобедренной трапеции эти высоты делят большее основание на три отрезка. Средний отрезок равен меньшему основанию (4), а два крайних равны между собой. Найдем длину одного из этих крайних отрезков:

$$ x = \frac{a-b}{2} = \frac{10-4}{2} = \frac{6}{2} = 3 $$

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, где:

• Один катет - это высота 'h'.
• Другой катет - это отрезок 'x' (равный 3).
• Угол при большем основании (прилежащий к катету 'x') равен $$\alpha = 43^{\circ}$$.

Мы можем использовать тангенс угла:

$$ \text{tg}(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{h}{x} $$

$$ \text{tg}(43^{\circ}) = \frac{h}{3} $$

Отсюда выразим высоту 'h':

$$ h = 3 \cdot \text{tg}(43^{\circ}) $$

Теперь подставим все в формулу площади:

$$ S = \frac{10+4}{2} \cdot (3 \cdot \text{tg}(43^{\circ})) $$

$$ S = \frac{14}{2} \cdot 3 \cdot \text{tg}(43^{\circ}) $$

$$ S = 7 \cdot 3 \cdot \text{tg}(43^{\circ}) $$

$$ S = 21 \cdot \text{tg}(43^{\circ}) $$

Смотрим на предложенные варианты ответа. Наш результат совпадает с одним из них!

Ответ: $$S = 21 \cdot \text{tg} 43^{\circ}$$