3. В равнобедренной трапеции основания равны 5 и 9, а один из углов равен 45° (см. рис. 102). Найдите площадь трапеции.

Решение:

1. Проведем высоты из вершин меньшего основания к большему. Получим два равных прямоугольных треугольника и прямоугольник.

2. Так как трапеция равнобедренная, то отрезки, отсекаемые высотами на большем основании, равны. Обозначим длину этих отрезков за x. Тогда

$$2x + 5 = 9$$

$$2x = 4$$

$$x = 2$$

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник с углом 45°. Так как сумма углов треугольника равна 180°, а один из углов прямой (90°), то второй угол равен 180° - 90° - 45° = 45°. Следовательно, этот прямоугольный треугольник равнобедренный. Значит, высота трапеции равна x, то есть 2.

4. Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$

где a и b - основания трапеции, h - высота.

В нашем случае a = 5, b = 9, h = 2. Подставляем значения в формулу:

$$S = \frac{5 + 9}{2} \cdot 2 = \frac{14}{2} \cdot 2 = 7 \cdot 2 = 14$$

Ответ: 14