10. В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 27, острый угол равен 60°. Найдите ее периметр.

Для решения этой задачи, нам нужно найти боковые стороны равнобедренной трапеции. Обозначим большее основание за (a = 27), меньшее основание за (b = 12), а острый угол при основании за (\alpha = 60^\circ). Опустим высоты из вершин меньшего основания на большее основание. Таким образом, большее основание разделится на три отрезка: два равных отрезка, которые являются проекциями боковых сторон, и отрезок, равный меньшему основанию. Длина каждого из этих отрезков (проекций боковых сторон) равна: \[ x = \frac{a - b}{2} = \frac{27 - 12}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \] Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции, боковой стороной и проекцией боковой стороны на большее основание. В этом треугольнике мы знаем угол (\alpha = 60^\circ) и длину прилежащего катета (x = 7.5). Мы можем найти боковую сторону (c) трапеции, используя косинус угла (\alpha): \[ \cos(\alpha) = \frac{x}{c} \] \[ c = \frac{x}{\cos(\alpha)} = \frac{7.5}{\cos(60^\circ)} = \frac{7.5}{0.5} = 15 \] Теперь, когда мы знаем длины всех сторон трапеции, мы можем найти ее периметр (P): \[ P = a + b + 2c = 27 + 12 + 2 \cdot 15 = 27 + 12 + 30 = 69 \] Таким образом, периметр трапеции равен 69.