В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Решение:

Дана равнобедренная трапеция с основаниями \( a = 8 \) и \( b = 2 \). Угол между боковой стороной и большим основанием равен \( \alpha = 45^{\circ} \).

Чтобы найти площадь трапеции, воспользуемся формулой: \( S = \frac{a+b}{2} h \), где \( h \) — высота трапеции.

Проведём высоты из вершин верхнего основания к нижнему. Получим два прямоугольных треугольника с углом \( 45^{\circ} \).

Длина отрезка основания, на который опускается высота, равна полуразности оснований: \( x = \frac{a-b}{2} = \frac{8-2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).

В прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной, высотой и отрезком \( x \), угол при основании равен \( 45^{\circ} \). Так как один из углов острых равен \( 45^{\circ} \), то второй острый угол тоже равен \( 45^{\circ} \) (\( 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \)). Следовательно, этот треугольник равнобедренный, и высота \( h \) равна отрезку \( x \).

\( h = x = 3 \).

Теперь найдём площадь трапеции:

\[ S = \frac{8+2}{2} \cdot 3 = \frac{10}{2} \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15 \]

Ответ: 15.