В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Решение:

В равнобедренной трапеции основания равны \( a = 9 \) и \( b = 3 \). Угол между боковой стороной и основанием \( \alpha = 45^{\circ} \).

Для нахождения площади трапеции используем формулу: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( h \) — высота трапеции.

Проведем две высоты из вершин меньшего основания к большему. Образуются два прямоугольных треугольника и прямоугольник. В прямоугольном треугольнике один угол равен \( 90^{\circ} \), другой дан — \( 45^{\circ} \). Следовательно, третий угол также равен \( 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \). Такой треугольник является равнобедренным прямоугольным.

Катеты такого треугольника равны. Один катет — это высота трапеции \( h \), другой — часть основания. Найдем длину этой части основания: \( x = \frac{a-b}{2} = \frac{9-3}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).

Так как треугольник равнобедренный, высота \( h \) равна этой части основания: \( h = x = 3 \).

Теперь найдем площадь трапеции:

\[ S = \frac{9+3}{2} \cdot 3 = \frac{12}{2} \cdot 3 = 6 \cdot 3 = 18 \]

Ответ: 18.