В равнобедренной трапеции основаниями AD и BC угол D равен 66°. Диагональ AC образует со стороной AB угол 18°. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

Дано:

• Трапеция ABCD — равнобедренная.
• \[ \angle D = 66^{\circ} \]
• \[ \angle CAB = 18^{\circ} \]

Найти: Угол между диагональю AC и меньшим основанием (BC).

Решение:

1. \[ \angle CAD = \angle D - \angle CAB = 66^{\circ} - 18^{\circ} = 48^{\circ} \]
2. Так как трапеция равнобедренная, боковые стороны равны: AB = CD.
3. Диагонали равны: AC = BD.
4. Рассмотрим треугольник ABC. Угол B = 180° - Угол A.
5. Угол BAC = 18°, Угол CAD = 48°.
6. Угол BAD = Угол BAC + Угол CAD = 18° + 48° = 66°.
7. Так как трапеция равнобедренная, углы при большем основании равны: olongrightarrow ∠ BAD = ∠ D = 66^{\circ}.
8. Углы при меньшем основании также равны: olongrightarrow ∠ ABC = ∠ BCD.
9. В равнобедренной трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°: olongrightarrow ∠ ABC + ∠ BAD = 180^{\circ}.
10. olongrightarrow ∠ ABC = 180^{\circ} - 66^{\circ} = 114^{\circ}.
11. Теперь рассмотрим треугольник ABC. У нас есть:
• olongrightarrow ∠ CAB = 18^{\circ}
• olongrightarrow ∠ ABC = 114^{\circ}
12. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому:
13. olongrightarrow ∠ ACB = 180^{\circ} - (18^{\circ} + 114^{\circ}) = 180^{\circ} - 132^{\circ} = 48^{\circ}.
14. Так как AD || BC (основания трапеции параллельны), то накрест лежащие углы равны:
15. olongrightarrow ∠ ACB = ∠ CAD = 48^{\circ}.
16. По условию ∠ CAD = 48^{\circ}.
17. Нужно найти угол между диагональю AC и меньшим основанием BC, то есть ∠ ACB.
18. olongrightarrow ∠ ACB = 48^{\circ}.

Ответ: 48°