В равнобедренной трапеции с основаниями AD и BC угол D равен 64°. Диагональ АС образует со стороной CD угол 81°. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

Решение:

Дано: Трапеция ABCD, AD || BC, AB = CD. \( \angle D = 64^{\circ} \). \( \angle ACD = 81^{\circ} \). Найти: \( \angle CAD \).

1. В равнобедренной трапеции углы при основании равны, поэтому \( \angle C = \angle B \) и \( \angle D = \angle A \) (для углов при основании AD). Так как \( \angle D = 64^{\circ} \), то \( \angle ADC = 64^{\circ} \).
2. Угол \( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD \).
3. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°. Следовательно, \( \angle BCD + \angle D = 180^{\circ} \) (так как BC || AD).
4. \( \angle BCD = 180^{\circ} - \angle D = 180^{\circ} - 64^{\circ} = 116^{\circ} \).
5. Зная \( \angle BCD = 116^{\circ} \) и \( \angle ACD = 81^{\circ} \), найдём \( \angle BCA \): \( \angle BCA = \angle BCD - \angle ACD = 116^{\circ} - 81^{\circ} = 35^{\circ} \).
6. Так как основания трапеции параллельны (AD || BC), то накрест лежащие углы равны. Угол \( \angle CAD \) и \( \angle BCA \) являются накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC и секущей AC.
7. Следовательно, \( \angle CAD = \angle BCA = 35^{\circ} \).

Ответ: 35°.