В равнобедренной трапеции с основаниями AD и BC угол D равен 67°. Диагональ АС образует со стороной CD угол 72°. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

Решение:

Данная трапеция является равнобедренной, значит, углы при основании AD равны, то есть \( \angle D = \angle A = 67^{\circ} \).

В равнобедренной трапеции диагонали равны: \( AC = BD \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle ACD \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \).

Известно, что \( \angle D = 67^{\circ} \) и \( \angle ACD = 72^{\circ} \).

Найдем \( \angle CAD \) в \( \triangle ACD \):

\[ \angle CAD = 180^{\circ} - \angle D - \angle ACD = 180^{\circ} - 67^{\circ} - 72^{\circ} = 180^{\circ} - 139^{\circ} = 41^{\circ} \]

В равнобедренной трапеции основание BC меньше основания AD. Следовательно, искомый угол — это угол между диагональю AC и меньшим основанием BC, то есть \( \angle ACB \).

Так как \( AD \parallel BC \), то \( \angle ACB = \angle CAD \) как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AC.

Таким образом, \( \angle ACB = 41^{\circ} \).

Ответ: 41°.