23. В равнобедренной трапеции с основаниями, равными 13 и 31, известен периметр: Р = 74. Найди площадь этой трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где BC = 13, AD = 31, P = 74.

1. Найдем боковую сторону трапеции:

$$AB = CD = \frac{P - BC - AD}{2} = \frac{74 - 13 - 31}{2} = \frac{30}{2} = 15$$

2. Проведем высоты BH и CF к основанию AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH:

$$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{31 - 13}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

3. Найдем высоту трапеции по теореме Пифагора:

$$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$$

4. Найдем площадь трапеции:

$$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{13 + 31}{2} \cdot 12 = \frac{44}{2} \cdot 12 = 22 \cdot 12 = 264$$

Ответ: 264