В равнобедренной трапеции тупой угол равен 135°, а высота в 3 раза меньше большего основания. Найдите площадь трапеции, если меньшее основание равно 6 см.

Для решения задачи необходимо:

1. Сделать чертёж.
2. Найти большее основание.
3. Найти высоту.
4. Вычислить площадь трапеции.

Обозначим вершины трапеции ABCD, где AD – большее основание, BC – меньшее основание. Проведём высоты BH и CK к основанию AD. Угол ABH = 180° - 135° = 45°. Треугольник ABH – прямоугольный, угол ABH = 45°, следовательно, угол BAH = 45°, и треугольник ABH – равнобедренный, AH = BH.

Пусть высота BH = x, тогда AD = 3x. Так как трапеция равнобедренная, AH = KD.

AD = AH + HK + KD, HK = BC = 6 см, AH = KD, тогда 3x = 2AH + 6, AH = (3x - 6)/2

Так как AH = BH, то x = (3x - 6)/2

Решим уравнение:

$$x = \frac{3x - 6}{2}$$ $$2x = 3x - 6$$ $$x = 6$$

Высота трапеции BH = 6 см, большее основание AD = 3 × 6 = 18 см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH$$

Подставим значения:

$$S = \frac{6 + 18}{2} \cdot 6 = \frac{24}{2} \cdot 6 = 12 \cdot 6 = 72 \text{ см}^2$$

Ответ: 72 см²