2. В равнобедренной трапеции тупой угол равен 135°, а высота в 3 раза меньше большего основания. Найдите площадь трапеции, если меньшее основание равно 6 см.

Решение:

1) Обозначим равнобедренную трапецию ABCD, где AD большее основание, BC - меньшее основание, углы ABC и BCD равны 135°. Проведем высоты BH и CF к основанию AD.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Угол ABH = 180° - 135° = 45°. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, то угол BAH = 90° - 45° = 45°. Следовательно, треугольник ABH равнобедренный, и AH = BH.

3) По условию задачи, высота BH в 3 раза меньше большего основания AD. Пусть BH = x, тогда AD = 3x.

4) Так как трапеция равнобедренная, то AH = FD. Также, BC = HF = 6 см. Тогда AD = AH + HF + FD = AH + 6 + AH = 2AH + 6.

5) Получаем уравнение: 3x = 2AH + 6. Так как AH = BH = x, то 3x = 2x + 6. Отсюда x = 6 см. Значит, BH = 6 см, AD = 3 × 6 = 18 см.

6) Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: $$S = \frac{(BC + AD)}{2} \cdot BH$$ Подставляем известные значения: BC = 6 см, AD = 18 см, BH = 6 см. $$S = \frac{(6 + 18)}{2} \cdot 6 = \frac{24}{2} \cdot 6 = 12 \cdot 6 = 72 \text{ см}^2$$

Ответ: 72 см²