В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 100, а площадь равна 500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Решение:

1. Условие вписанной окружности: Для равнобедренной трапеции условие возможности вписать окружность — сумма оснований равна боковой стороне, умноженной на 2. Пусть основания равны $$a$$ и $$b$$, а боковая сторона $$c$$. Тогда $$a + b = 2c$$.
2. Периметр: Периметр равен $$2a + 2c = 100$$, или $$a + c = 50$$.
3. Совмещение условий: Из $$a + b = 2c$$ и $$a + c = 50$$, получаем $$a + b = 2(50 - a) = 100 - 2a$$. Следовательно, $$b = 100 - 3a$$.
4. Высота трапеции: Площадь трапеции $$S = \frac{a+b}{2}h = 500$$. Подставляя $$b$$, получаем $$\frac{a + (100 - 3a)}{2}h = 500$$, то есть $$\frac{100 - 2a}{2}h = 500$$, откуда $$(50-a)h = 500$$.
5. Свойства трапеции с вписанной окружностью: В равнобедренной трапеции с вписанной окружностью $$h^2 = ab$$.
6. Система уравнений: У нас есть система:
   • $$h = \frac{500}{50-a}
   • $$h^2 = ab = a(100-3a)
7. Решение системы: Подставляем $$h$$ во второе уравнение: $$(\frac{500}{50-a})^2 = a(100-3a)$$. $$(500)^2 = a(100-3a)(50-a)^2$$. Решив это уравнение (которое является кубическим и довольно сложное для ручного решения), можно найти $$a$$.
8. Альтернативный подход: Используем свойство того, что в равнобедренной трапеции с вписанной окружностью, высота $$h$$ равна среднему геометрическому оснований: $$h = \sqrt{ab}$$. Также, $$S = \frac{a+b}{2}h$$. Периметр $$P = 2(a+b) = 100$$, откуда $$a+b=50$$. Площадь $$S = \frac{50}{2}h = 25h = 500$$, значит $$h=20$$.
9. Находим основания: Теперь мы знаем, что $$a+b=50$$ и $$h=20$$. Также $$h^2 = ab$$, значит $$20^2 = ab$$, то есть $$ab = 400$$. Решаем систему:
   • $$a+b=50$$
   • $$ab=400$$
   Из первого уравнения $$b = 50-a$$. Подставляем во второе: $$a(50-a) = 400$$, $$50a - a^2 = 400$$, $$a^2 - 50a + 400 = 0$$. Корни этого уравнения: $$a = \frac{50 ± \sqrt{2500 - 4 ± 400}}{2} = \frac{50 ± \sqrt{900}}{2} = \frac{50 ± 30}{2}$$. Значит, $$a_1 = \frac{80}{2} = 40$$, $$a_2 = \frac{20}{2} = 10$$. Если $$a=40$$, то $$b=10$$. Если $$a=10$$, то $$b=40$$. Так как $$b$$ — меньшее основание, то $$b=10$$ и $$a=40$$.
10. Точка пересечения диагоналей: Пусть точка пересечения диагоналей — $$O$$. Треугольники, образованные диагоналями и основаниями, подобны. Отношение высот этих треугольников (опущенных из $$O$$ на основания) равно отношению оснований. Пусть $$h_b$$ — высота от $$O$$ до меньшего основания $$b$$. Тогда $$\frac{h_b}{h - h_b} = \frac{b}{a}$$.
11. Расчет расстояния: $$\frac{h_b}{20 - h_b} = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$$. $$4h_b = 20 - h_b$$, $$5h_b = 20$$, $$h_b = 4$$.

Ответ: 4