В равнобедренную трапецию вписана окружность. Найдите радиус этой окружности, если длины оснований равны 9 и 16.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии. Звучит интересно, правда?

Дано:

• Равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность.
• Основания трапеции: a = 9 и b = 16.

Найти:

• Радиус окружности (r).

Решение:

Когда в трапецию вписана окружность, есть одно важное свойство: сумма противоположных сторон равна. В нашем случае, это значит, что сумма оснований равна сумме боковых сторон.

Пусть c — длина боковой стороны трапеции. Тогда:

a + b = c + c

9 + 16 = 2c

25 = 2c

c = 25 / 2 = 12.5

Теперь рассмотрим высоту трапеции (h). Высота, проведенная из вершины тупого угла к большему основанию, делит его на два отрезка. Один отрезок равен полуразности оснований, а другой — полусумме оснований (что равно боковой стороне, если трапеция прямоугольная, но у нас равнобедренная).

От большего основания (16) отложим отрезок, равный меньшему основанию (9). Оставшаяся часть равна 16 - 9 = 7. Этот отрезок (7) делится пополам, так как трапеция равнобедренная. Получаем два отрезка по 7 / 2 = 3.5.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, где:

• Гипотенуза — боковая сторона c = 12.5.
• Один катет — полуразность оснований: (16 - 9) / 2 = 3.5.
• Второй катет — высота трапеции h.

По теореме Пифагора:

h^2 + ((a - b) / 2)^2 = c^2

h^2 + (3.5)^2 = (12.5)^2

h^2 + 12.25 = 156.25

h^2 = 156.25 - 12.25

h^2 = 144

h = √144 = 12

Высота трапеции равна 12.

Важное свойство окружности, вписанной в трапецию: диаметр этой окружности равен высоте трапеции!

Диаметр (d) = h = 12

А радиус — это половина диаметра:

r = d / 2

r = 12 / 2 = 6

Ответ:

Радиус окружности равен 6.