В равнобедренную трапецию вписана окружность. Найдите радиус этой окружности, если длины оснований равны 9 и 16.

В равнобедренную трапецию вписана окружность. Это означает, что сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований. Пусть длины оснований трапеции равны $$a$$ и $$b$$, а длина боковой стороны равна $$c$$. Тогда $$2c = a + b$$.

В данной задаче $$a = 9$$ и $$b = 16$$. Тогда $$2c = 9 + 16 = 25$$, следовательно, $$c = \frac{25}{2} = 12.5$$.

Высота трапеции, в которую вписана окружность, является диаметром этой окружности, то есть $$h = 2r$$, где $$r$$ - радиус окружности. Высоту можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и частью большего основания. Эта часть равна полуразности оснований: $$\frac{b - a}{2} = \frac{16 - 9}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$$.

По теореме Пифагора, $$h^2 + (\frac{b - a}{2})^2 = c^2$$, следовательно, $$h^2 = c^2 - (\frac{b - a}{2})^2$$.

Подставляем значения: $$h^2 = (12.5)^2 - (3.5)^2 = 156.25 - 12.25 = 144$$, следовательно, $$h = \sqrt{144} = 12$$.

Так как $$h = 2r$$, то $$r = \frac{h}{2} = \frac{12}{2} = 6$$.

Ответ: 6