4. В равнобокой трапеции ABCD AB = CD = 6 см, ВС = 8 см, AD = 12 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла А трапеции.

Решение:

Проведем высоты BH и CK. Так как трапеция равнобокая, то AH = KD.

$$AD = AH + HK + KD = AH + BC + KD$$

$$AH + KD = AD - BC = 12 - 8 = 4 \text{ см}$$.

Так как AH = KD, то $$AH = \frac{4}{2} = 2 \text{ см}$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Найдем BH по теореме Пифагора:

$$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{36 - 4} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ см}$$.

Теперь найдем синус, косинус, тангенс и котангенс угла A:

$$sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$.

$$cos A = \frac{AH}{AB} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$.

$$tg A = \frac{BH}{AH} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$.

$$ctg A = \frac{AH}{BH} = \frac{2}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$.

Ответ: $$sin A = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$, $$cos A = \frac{1}{3}$$, $$tg A = 2\sqrt{2}$$, $$ctg A = \frac{\sqrt{2}}{4}$$