В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. Найдите ∠MPN.

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. 1. **Свойства равностороннего треугольника:** В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам. То есть, ∠BAC = ∠ABC = ∠BCA = 60°. 2. **Свойства биссектрисы:** Биссектриса угла делит его пополам. Так как CN и AM - биссектрисы углов ∠BCA и ∠BAC, соответственно, то: - ∠ACN = ∠BCN = 60°/2 = 30° - ∠BAM = ∠CAM = 60°/2 = 30° 3. **Рассмотрим треугольник APC:** В треугольнике APC известны углы ∠PAC = 30° и ∠PCA = 30°. Сумма углов в любом треугольнике равна 180°, поэтому: - ∠APC = 180° - ∠PAC - ∠PCA - ∠APC = 180° - 30° - 30° = 120° 4. **∠MPN и ∠APC:** Углы ∠MPN и ∠APC являются вертикальными углами, а вертикальные углы равны. Следовательно: - ∠MPN = ∠APC = 120° **Итоговый ответ:** ∠MPN = 120° **Развернутый ответ:** В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Биссектрисы делят эти углы пополам, образуя углы по 30°. В точке пересечения биссектрис (точка P) образуется треугольник APC, в котором два угла равны 30°. Сумма углов в треугольнике составляет 180°. Найдя третий угол (∠APC) в треугольнике APC, получаем 120°. Так как ∠MPN и ∠APC вертикальные, они равны, то есть ∠MPN = 120°. Таким образом, искомый угол ∠MPN равен 120 градусам.