В равностороннем треугольнике со стороной 4 провели отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, делящей противоположную сторону в отношении 2 : 1. Найдите длину этого отрезка.

Пусть точка делит противоположную сторону на отрезки длиной 2 и 4/3: их сумма равна 4, а отношение — 2 : 1.

Высота равностороннего треугольника со стороной 4 равна \(h=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}\). Проекция высоты делит сторону пополам, поэтому горизонтальное смещение от её основания до точки деления равно \(2-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}\).

По теореме Пифагора длина искомого отрезка равна \(\sqrt{(2\sqrt{3})^2+(\frac{2}{3})^2}=\sqrt{12+\frac{4}{9}}=\frac{4\sqrt{7}}{3}\).

Ответ: \(\frac{4\sqrt{7}}{3}\).