В равностороннем треугольнике, сторона которого равна 68 см, соединены середины сторон, в полученном треугольнике опять соединены середины сторон и т. д. (см. рис.). Вычисли сумму периметров всех треугольников.

Решение:

Задача описывает последовательность вписанных равносторонних треугольников, где каждый следующий треугольник получается соединением середин сторон предыдущего.

1. Геометрическая прогрессия длин сторон:

• Пусть сторона первого (наибольшего) треугольника равна \( a_1 = 68 \) см.
• Сторона второго треугольника будет равна половине стороны первого, то есть \( a_2 = \frac{a_1}{2} = \frac{68}{2} = 34 \) см.
• Сторона третьего треугольника будет \( a_3 = \frac{a_2}{2} = \frac{34}{2} = 17 \) см, и так далее.
• Таким образом, длины сторон образуют геометрическую прогрессию с первым членом \( a_1 = 68 \) и знаменателем \( q = \frac{1}{2} \).

2. Периметры треугольников:

• Периметр равностороннего треугольника равен тройному произведению его стороны: \( P = 3a \).
• Периметр первого треугольника: \( P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 68 \).
• Периметр второго треугольника: \( P_2 = 3 \cdot a_2 = 3 \cdot (\frac{a_1}{2}) = \frac{P_1}{2} \).
• Периметры треугольников также образуют геометрическую прогрессию с первым членом \( P_1 = 3 \cdot 68 \) и знаменателем \( q = \frac{1}{2} \).

3. Сумма периметров всех треугольников:

Это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Формула для суммы:

\[ S = \frac{P_1}{1 - q} \]

Подставим значения:

\[ S = \frac{3 \cdot 68}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{3 \cdot 68}{\frac{1}{2}} = 3 \cdot 68 \cdot 2 = 6 \cdot 68 = 408 \] см.

Дополнительные вопросы

1. Сторона третьего по порядку треугольника равна

Сторона второго треугольника \( a_2 = 68 / 2 = 34 \) см. Сторона третьего треугольника \( a_3 = 34 / 2 = 17 \) см.

Ответ: 17 см.

2. Периметр наибольшего треугольника равен

Наибольший треугольник — это первый треугольник. Его периметр \( P_1 = 3 \cdot 68 = 204 \) см.

Ответ: 204 см.

3. Выбери, какую из формул надо использовать в решении задачи:

Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии используется формула \( S = \frac{b_1}{1 - q} \), где \( b_1 \) — первый член прогрессии, а \( q \) — знаменатель прогрессии. В данном случае \( b_1 \) — это периметр первого треугольника, а \( q = \frac{1}{2} \) — это отношение периметра последующего треугольника к предыдущему.

Ответ:

\( \frac{b_1}{1-q^2} \)

\( \frac{b_1}{1-q} \)

\( \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} \)

\( \frac{q}{1-b_1} \)

---

Ответ: Сумма периметров всех треугольников равна 408 см.