15. В равностороннем треугольнике АВС с основанием АВ проведены биссектрисы АК и BN, которые пересекаются в точке D. Найди величину угла KDN. Ответ дай в градусах.

Рассмотрим решение задачи:

1. Так как треугольник ABC равносторонний, то все его углы равны 60°.

   $$\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$$

2. AK и BN - биссектрисы углов A и B соответственно, следовательно:

   $$\angle BAK = \angle CAK = \frac{1}{2} \angle A = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$$

   $$\angle ABN = \angle CBN = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$$

3. Рассмотрим треугольник ABK: угол BAK равен 30°, угол ABK равен 60°, следовательно, угол AKB равен:

   $$\angle AKB = 180^\circ - \angle BAK - \angle ABK = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$$

   Аналогично, в треугольнике BAN: угол BAN равен 60°, угол ABN равен 30°, следовательно, угол ANB равен 90°.

4. Рассмотрим треугольник ABD: угол BAD равен 30°, угол ABD равен 30°, следовательно, угол ADB равен:

   $$\angle ADB = 180^\circ - \angle BAD - \angle ABD = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$$

5. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Рассмотрим четырехугольник KDNA, в котором:

   $$\angle DAK = 30^\circ$$

   $$\angle KNA = 90^\circ$$

   $$\angle AKB = 90^\circ$$

   Следовательно, искомый угол KDN равен:

   $$\angle KDN = 360^\circ - \angle DAK - \angle KNA - \angle AKB = 360^\circ - 30^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 150^\circ$$

Ответ: 120