2-в 1. Решите уравнение: X² - 8x - 9 = 0; 2) x²-7x = 18 x+2 x+2 3. Сократите дробь 4a²+a-3 a²-1 4. Решите уравнение: x-1 + x+1 + 2x+8 = 0. x+2 x-2 4-x² Расстояние между двумя пристанями равное 72 км, моторная лодка проходит по течению реки на 2 ч быстрее, чем против течения. Найдите скорость течения, если собственная скорость лодки равна 15 км/ч.

1. Решение квадратного уравнения:

Для решения квадратного уравнения \( x^2 - 8x - 9 = 0 \), мы можем использовать дискриминант.

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 1, b = -8, c = -9 \).

Вычисляем дискриминант: \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 \] Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.

Корни находим по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставляем значения: \[ x_1 = \frac{8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9 \] \[ x_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Ответ: x₁ = 9, x₂ = -1

2. Решение уравнения с дробями:

Дано уравнение: \( \frac{x^2 - 7x}{x+2} = \frac{18}{x+2} \)

Умножаем обе части уравнения на \( x + 2 \), чтобы избавиться от знаменателя (при условии, что \( x
eq -2 \)): \[ x^2 - 7x = 18 \]

Переносим все члены в левую часть: \[ x^2 - 7x - 18 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 1, b = -7, c = -18 \). \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 \] Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.

Корни находим по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставляем значения: \[ x_1 = \frac{7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 11}{2} = \frac{18}{2} = 9 \] \[ x_2 = \frac{7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 11}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Проверяем корни. \( x = -2 \) не подходит, так как в знаменателе будет ноль. Значит, остается только один корень.

Ответ: x = 9

3. Сокращение дроби:

Дана дробь: \( \frac{4a^2 + a - 3}{a^2 - 1} \)

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Знаменатель: \( a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1) \)

Числитель: \( 4a^2 + a - 3 \). Найдем корни квадратного уравнения \( 4a^2 + a - 3 = 0 \). Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 4, b = 1, c = -3 \). \[ D = (1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 \] Корни: \[ a_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \] \[ a_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 - 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]

Значит, числитель можно разложить как \( 4(a - \frac{3}{4})(a + 1) = (4a - 3)(a + 1) \)

Теперь дробь имеет вид: \[ \frac{(4a - 3)(a + 1)}{(a - 1)(a + 1)} \]

Сокращаем на \( (a + 1) \) (при условии, что \( a
eq -1 \)): \[ \frac{4a - 3}{a - 1} \]

Ответ: \(\frac{4a - 3}{a - 1}\)

4. Решение уравнения с дробями:

Дано уравнение: \( \frac{x-1}{x+2} + \frac{x+1}{x-2} + \frac{2x+8}{4-x^2} = 0 \)

Заметим, что \( 4 - x^2 = -(x^2 - 4) = -(x - 2)(x + 2) \). Перепишем уравнение: \[ \frac{x-1}{x+2} + \frac{x+1}{x-2} - \frac{2x+8}{(x-2)(x+2)} = 0 \]

Приведем к общему знаменателю \( (x - 2)(x + 2) \): \[ \frac{(x-1)(x-2) + (x+1)(x+2) - (2x+8)}{(x-2)(x+2)} = 0 \]

Раскроем скобки в числителе: \[ \frac{x^2 - 3x + 2 + x^2 + 3x + 2 - 2x - 8}{(x-2)(x+2)} = 0 \]

Упростим числитель: \[ \frac{2x^2 - 4 - 2x}{(x-2)(x+2)} = 0 \]

Уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю: \[ 2x^2 - 2x - 4 = 0 \]

Разделим на 2: \[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 1, b = -1, c = -2 \). \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \] Корни: \[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Проверяем корни. \( x = 2 \) не подходит, так как в знаменателе будет ноль. Значит, остается только один корень.

Ответ: x = -1

5. Задача про лодку:

Пусть \( v \) - скорость течения реки.

Скорость лодки по течению: \( 15 + v \) км/ч.

Скорость лодки против течения: \( 15 - v \) км/ч.

Время, которое лодка тратит на путь по течению: \( \frac{72}{15 + v} \)

Время, которое лодка тратит на путь против течения: \( \frac{72}{15 - v} \)

Из условия задачи известно, что время по течению на 2 часа меньше времени против течения: \[ \frac{72}{15 - v} - \frac{72}{15 + v} = 2 \]

Умножим обе части уравнения на \( (15 - v)(15 + v) \), чтобы избавиться от знаменателей: \[ 72(15 + v) - 72(15 - v) = 2(15 - v)(15 + v) \]

Раскроем скобки: \[ 1080 + 72v - 1080 + 72v = 2(225 - v^2) \]

Перенесем все в одну сторону: \[ 2v^2 + 144v - 450 = 0 \]

Разделим на 2: \[ v^2 + 72v - 225 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 1, b = 72, c = -225 \). \[ D = (72)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-225) = 5184 + 900 = 6084 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78 \]

Корни: \[ v_1 = \frac{-72 + 78}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ v_2 = \frac{-72 - 78}{2 \cdot 1} = \frac{-150}{2} = -75 \]

Скорость не может быть отрицательной, поэтому выбираем положительное значение.

Ответ: v = 3 км/ч

Ответ: 1) x₁ = 9, x₂ = -1; 2) x = 9; 3) \(\frac{4a - 3}{a - 1}\); 4) x = -1; 5) v = 3 км/ч