V. Решите задачи: 1) На двух копировальных машинах, работающих одновременно, можно сделать копию пакета документов за 10 минут. За какое время можно выполнить эту работу на каждой машине в отдельности, если известно, что на первой машине ее можно сделать на 15 минут быстрее, чем на второй?

Дано:

Две машины работают вместе 10 минут.

Первая машина работает на 15 минут быстрее второй.

Найти:

Время работы каждой машины по отдельности.

Решение:

Пусть $$t_1$$ — время работы первой машины, а $$t_2$$ — время работы второй машины.

Из условия задачи известно, что первая машина работает на 15 минут быстрее второй, значит:

$$t_1 = t_2 - 15$$

Производительность первой машины: $$v_1 = \frac{1}{t_1}$$ (часть работы в минуту).

Производительность второй машины: $$v_2 = \frac{1}{t_2}$$ (часть работы в минуту).

Когда машины работают вместе, их производительность складывается:

$$v_1 + v_2 = \frac{1}{10}$$ (вся работа выполняется за 10 минут).

Подставим выражения для $$v_1$$ и $$v_2$$:

\( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{10} \)

Теперь подставим $$t_1 = t_2 - 15$$ в это уравнение:

\( \frac{1}{t_2 - 15} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{10} \)

Приведем дроби к общему знаменателю:

\( \frac{t_2 + (t_2 - 15)}{(t_2 - 15)t_2} = \frac{1}{10} \)

\( \frac{2t_2 - 15}{t_2^2 - 15t_2} = \frac{1}{10} \)

Решим пропорцию:

$$10(2t_2 - 15) = t_2^2 - 15t_2$$

$$20t_2 - 150 = t_2^2 - 15t_2$$

$$t_2^2 - 15t_2 - 20t_2 + 150 = 0$$

$$t_2^2 - 35t_2 + 150 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-35)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 150 = 1225 - 600 = 625$$

$$\\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$$

Найдем корни:

$$t_{2,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{35 + 25}{2 \cdot 1} = \frac{60}{2} = 30$$

$$t_{2,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{35 - 25}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$$

Так как $$t_1 = t_2 - 15$$, то при $$t_2 = 5$$ минут, $$t_1 = 5 - 15 = -10$$ минут, что невозможно. Следовательно, $$t_2 = 30$$ минут.

Теперь найдем $$t_1$$:

$$t_1 = t_2 - 15 = 30 - 15 = 15$$ минут.

Проверка:

Производительность первой машины: $$v_1 = \frac{1}{15}$$ работы в минуту.

Производительность второй машины: $$v_2 = \frac{1}{30}$$ работы в минуту.

Совместная работа: $$v_1 + v_2 = \frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{2}{30} + \frac{1}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$$ работы в минуту. Это означает, что вместе они выполнят работу за 10 минут.

Ответ: Первую машину можно выполнить эту работу за 15 минут, а вторую — за 30 минут.