В ромбе ABCD O — точка пересечения диагоналей, Е и F - середи- ны сторон ВС и DC. Докажите, что EF = BO и EF 1 AC. 2. Через точку пересечения медиан треугольника МРК проведен от- резок CD, параллельный МК (СЕ MP, DE PK), CD = 18 см. Найдите МК.

Рассмотрим треугольник BCD.

E и F - середины сторон BC и DC, следовательно, EF - средняя линия треугольника BCD.

Свойство средней линии треугольника.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине. Таким образом, EF || BD и EF = 1/2 * BD.

Диагонали ромба.

Диагонали ромба перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, BO = 1/2 * BD.

Сравнение EF и BO.

Из пунктов 2 и 3 следует, что EF = BO.

Перпендикулярность EF и AC.

Так как EF || BD и BD перпендикулярна AC (свойство диагоналей ромба), то EF перпендикулярна AC.

Свойство медиан треугольника.

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Подобие треугольников.

Треугольник CPD подобен треугольнику MPK, так как CD || MK. Коэффициент подобия равен отношению CP к MP, или PD к PK.

Отношение CP к MP.

Обозначим точку пересечения медиан как O. Тогда CO — это 1/3 медианы, а вся медиана от вершины до стороны составляет 3 части. Значит, CP = 1/3 * MP, и PD = 1/3 * PK. Следовательно, коэффициент подобия равен 1/3.

Нахождение MK.

Так как CD = 18 см и коэффициент подобия равен 1/3, то MK = 3 * CD = 3 * 18 = 54 см.