В ромбе ABCD угол ABC равен 40°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В ромбе ABCD нам дан угол \( \angle ABC = 40^{\circ} \). Так как ромб является параллелограммом, то противоположные углы равны, и сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \( 180^{\circ} \).

1. Находим угол \( \angle BAD \):
   \( \angle BAD = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \).
2. Находим угол \( \angle BCD \):
   \( \angle BCD = \angle BAD = 140^{\circ} \) (противоположные углы ромба равны).
3. Находим угол \( \angle CAD \):
   Диагональ \( AC \) является биссектрисой угла \( \angle BAD \) в ромбе. Поэтому:
   \( \angle CAD = \frac{\angle BAD}{2} = \frac{140^{\circ}}{2} = 70^{\circ} \).
4. Находим угол \( \angle ACD \):
   Рассмотрим треугольник \( \triangle ABC \). Так как \( AB = BC \) (все стороны ромба равны), то \( \triangle ABC \) — равнобедренный. Углы при основании \( AC \) равны:
   \( \angle BAC = \angle BCA \).
   Сумма углов в \( \triangle ABC \): \( \angle ABC + \angle BAC + \angle BCA = 180^{\circ} \)
   \( 40^{\circ} + 2 \cdot \angle BCA = 180^{\circ} \)
   \( 2 \cdot \angle BCA = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \)
   \( \angle BCA = \frac{140^{\circ}}{2} = 70^{\circ} \).
5. Итоговый ответ:
   Нам нужен угол \( \angle ACD \). Мы знаем, что \( \angle BCD = 140^{\circ} \) и \( \angle BCA = 70^{\circ} \).
   \( \angle ACD = \angle BCD - \angle BCA = 140^{\circ} - 70^{\circ} = 70^{\circ} \).

Альтернативный способ:

В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам. Рассмотрим \( \triangle ABC \). Он равнобедренный, \( AB = BC \), \( \angle ABC = 40^{\circ} \), значит \( \angle BAC = \angle BCA = (180^{\circ} - 40^{\circ})/2 = 70^{\circ} \).

Теперь рассмотрим \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADC \). Они равны по трем сторонам ( \( AB=AD \), \( BC=CD \), \( AC \) — общая). Следовательно, \( \angle BAC = \angle DAC = 70^{\circ} \) и \( \angle BCA = \angle DCA = 70^{\circ} \).

Таким образом, \( \angle ACD = 70^{\circ} \).

Ответ: 70