Контрольные задания > В ромбе АВСД с острым углом АВС из точки С проведены: -к стороне АД высота СН - к стороне АВ биссектриса СК, которая образует с диагональю ВД угол 62 градуса. Найти: 1) Все углы ромба 2) Угол между высотой СН и диагональю ВД. 3) Угол между высотой СН и биссектрисой СК
Вопрос:

В ромбе АВСД с острым углом АВС из точки С проведены: -к стороне АД высота СН - к стороне АВ биссектриса СК, которая образует с диагональю ВД угол 62 градуса. Найти: 1) Все углы ромба 2) Угол между высотой СН и диагональю ВД. 3) Угол между высотой СН и биссектрисой СК

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решение:

В ромбе ABCD:

  • Угол ABC — острый.
  • CH — высота, проведенная к стороне AD (CH ⊥ AD).
  • CK — биссектриса, проведенная к стороне AB (∠KCB = ∠KCA).
  • ∠SKD = 62°, где S — точка на диагонали BD.

1. Находим углы ромба:

  1. Так как CK — биссектриса, то ∠ACK = ∠BCK.
  2. В ромбе диагонали являются биссектрисами углов. Диагональ AC делит угол BCD. Угол BCD = 2 * ∠BCK.
  3. Диагональ BD делит угол ABC. Угол ABC = 2 * ∠ABD.
  4. Углы, прилежащие к одной стороне ромба, в сумме дают 180°. ∠ABC + ∠BCD = 180°.
  5. В ромбе противоположные углы равны: ∠ABC = ∠ADC, ∠BCD = ∠BAD.
  6. Угол между биссектрисой СК и диагональю ВД равен 62°. Так как диагональ BD является биссектрисой угла ABC, то ∠AB D = ∠CBD.
  7. Рассмотрим треугольник BCD. Угол CBD = 62°.
  8. Так как ромб — параллелограмм, то AD || BC.
  9. ∠BCK = ∠CKD (как накрест лежащие при параллельных AD и BC и секущей CK).
  10. ∠CKD = ∠CKB + ∠BKD.
  11. Угол между биссектрисой СК и диагональю ВД равен 62°, это ∠BKC = 62°.
  12. Так как CK — биссектриса ∠ABC, то ∠BCK = ∠ACK.
  13. В ромбе диагонали перпендикулярны. BD ⊥ AC.
  14. Рассмотрим треугольник BCD. ∠CBD = 62°.
  15. Так как в ромбе сумма углов при одной стороне 180°, то ∠ABC = 180° - ∠BCD.
  16. Пусть ∠ABC = 2α. Тогда ∠BCD = 180° - 2α.
  17. Диагонали ромба делят углы пополам. ∠CBD = ∠ABD = α.
  18. Из условия, угол между биссектрисой СК и диагональю ВД равен 62°. Это означает, что ∠BKC = 62°.
  19. В треугольнике BCK: ∠BKC = 62°, ∠KBC = α. ∠BCK = 180° - 90° - α = 90° - α. (так как диагонали перпендикулярны).
  20. Так как CK - биссектриса, то ∠BCK = ∠KCA.
  21. ∠BCD = 2 * ∠BCK = 2 * (90° - α) = 180° - 2α.
  22. ∠ABC + ∠BCD = 2α + (180° - 2α) = 180°. Это не дает новой информации.
  23. Рассмотрим треугольник ABC. ∠ABC = 2α. ∠BAC = ∠BCA = (180° - 2α) / 2 = 90° - α.
  24. Так как CK - биссектриса, то ∠BCK = ∠ACK = 90° - α.
  25. В ромбе диагонали перпендикулярны, значит, диагональ BD перпендикулярна AC.
  26. В треугольнике BCD, ∠CBD = 62°.
  27. Так как диагонали перпендикулярны, то ∠BOC = 90° (O - точка пересечения диагоналей).
  28. В треугольнике BOC: ∠OBC = 62°. ∠BOC = 90°. ∠OCB = 180° - 90° - 62° = 28°.
  29. ∠BCD = 2 * ∠OCB = 2 * 28° = 56°.
  30. ∠ABC = 180° - ∠BCD = 180° - 56° = 124°.
  31. Следовательно, углы ромба: ∠ABC = ∠ADC = 124°, ∠BCD = ∠BAD = 56°.
  32. Но по условию угол ABC острый. Это означает, что мы ошиблись в интерпретации.
  33. Вернемся к условию: «биссектриса СК, которая образует с диагональю ВД угол 62 градуса». Это означает ∠CKD = 62° или ∠BKC = 62°.
  34. Пусть ∠ABC = 2α (острый угол). Тогда ∠BCD = 180° - 2α (тупой угол).
  35. Диагональ BD делит ∠ABC пополам: ∠ABD = ∠CBD = α.
  36. Диагонали ромба перпендикулярны: BD ⊥ AC.
  37. Рассмотрим ∆ BCD. ∠CBD = α. ∠BDC = ∠BDA.
  38. ∠ABC = 2α. ∠BAD = 180° - 2α.
  39. ∠BCD = 2α. ∠ADC = 180° - 2α. (Это неправильно, углы при одной стороне в сумме 180).
  40. Пусть ∠ABC — острый угол. Тогда ∠ABC = 2α. ∠BCD = 180° - 2α.
  41. Диагональ BD делит ∠ABC пополам: ∠ABD = ∠CBD = α.
  42. Диагональ AC делит ∠BCD пополам: ∠BCA = ∠DCA = (180° - 2α)/2 = 90° - α.
  43. CK — биссектриса ∠ABC, но в условии сказано, что СК — биссектриса, проведенная к стороне AB. Это означает, что CK делит ∠BCA. (Это противоречит логике).
  44. Перечитаем: «- к стороне АВ биссектриса СК». Значит, СК является биссектрисой угла ∠BCA.
  45. Тогда ∠BCK = ∠ACK.
  46. В ромбе диагонали перпендикулярны, поэтому ∠BOC = 90°.
  47. В ∆ BOC: ∠OBC = α. ∠OCB = 90° - α.
  48. Так как CK — биссектриса ∠BCA, то ∠BCK = ∠ACK = (90° - α)/2.
  49. По условию, биссектриса СК образует с диагональю BD угол 62°.
  50. Это может быть ∠CKD = 62° или ∠BKC = 62°.
  51. Рассмотрим ∆ BCK. ∠KBC = α. ∠BCK = (90° - α)/2.
  52. ∠BKC = 180° - α - (90° - α)/2.
  53. Если ∠BKC = 62°, то 62° = 180° - α - 45° + α/2 = 135° - α/2.
  54. α/2 = 135° - 62° = 73°.
  55. α = 146°. Это угол не может быть острым.
  56. Значит, ∠ABC = 2α = 146°, что является тупым углом.
  57. Предположим, что ∠ABC — тупой угол, тогда ∠BCD — острый.
  58. Пусть ∠BCD = 2β (острый). Тогда ∠ABC = 180° - 2β (тупой).
  59. Диагональ AC делит ∠BCD пополам: ∠BCA = ∠DCA = β.
  60. Диагональ BD делит ∠ABC пополам: ∠ABD = ∠CBD = 90° - β.
  61. CK — биссектриса ∠BCA. Значит, ∠BCK = ∠ACK = β/2.
  62. В ∆ BCK: ∠KBC = 90° - β. ∠BCK = β/2.
  63. ∠BKC = 180° - (90° - β) - β/2 = 180° - 90° + β - β/2 = 90° + β/2.
  64. По условию, биссектриса СК образует с диагональю BD угол 62°.
  65. Если ∠BKC = 62°, то 62° = 90° + β/2. β/2 = -28°, что невозможно.
  66. Значит, ∠CKD = 62°.
  67. ∠BKC = 180° - 62° = 118°.
  68. 118° = 90° + β/2.
  69. β/2 = 118° - 90° = 28°.
  70. β = 56°.
  71. ∠BCD = 2β = 2 * 56° = 112°.
  72. ∠ABC = 180° - 112° = 68°.
  73. Итак, углы ромба: ∠ABC = ∠ADC = 68°, ∠BCD = ∠BAD = 112°.
  74. Проверим: ∠ABC = 68° (острый). Условие выполнено.
  75. Углы ромба: 68°, 112°, 68°, 112°.

2. Угол между высотой СН и диагональю ВД:

  1. CH ⊥ AD. Так как AD || BC, то CH ⊥ BC.
  2. ∠HCD = 90°.
  3. ∠BCD = 112°. ∠BCA = ∠DCA = 112°/2 = 56°.
  4. В ∆ CDH: ∠CHD = 90°. ∠CDH = ∠ADC = 112°. (Это тупой угол. Ошибка. ∠ADC = 112°, тогда ∠ADH = 180-112=68°. Нет, ∠ADC = 112°, а ∠ADH = 112°.)
  5. Вернемся к углам: ∠ABC = 68° (острый), ∠BCD = 112° (тупой).
  6. CH — высота к AD. AD || BC. Значит, ∠DCH = 90°.
  7. ∠ADC = 112°. В ∆ CDH, ∠CHD = 90°. ∠CDH = 112°. Это невозможно, сумма углов треугольника 180.
  8. Определение высоты: CH ⊥ AD.
  9. Рассмотрим ромб ABCD. ∠ABC = 68°, ∠BCD = 112°, ∠CDA = 68°, ∠BAD = 112°.
  10. CH — высота к стороне AD. ∠CHA = 90°.
  11. В ∆ ABH: ∠AHB = 90°. ∠BAH = ∠BAD = 112°. Это невозможно.
  12. Значит, угол ABC — тот, который острый.
  13. Пусть ∠ABC = 2α (острый), ∠BCD = 180° - 2α (тупой).
  14. CH — высота к AD. CH ⊥ AD.
  15. В ∆ ABH: ∠AHB = 90°. ∠BAH = ∠BAD. ∠ABH = ∠ABC.
  16. В ромбе, смежные углы в сумме 180°. ∠BAD + ∠ABC = 180°.
  17. ∠BAD = 180° - ∠ABC.
  18. Если ∠ABC — острый, то ∠BAD — тупой.
  19. CH — высота к AD. Значит, ∠CHA = 90°.
  20. В ∆ CDH: ∠CHD = 90°. ∠CDH = ∠ADC.
  21. ∠ADC = ∠ABC = 2α. (Противоположные углы равны).
  22. ∠BAD = ∠BCD = 180° - 2α.
  23. CH ⊥ AD.
  24. В ∆ CDH: ∠CHD = 90°. ∠CDH = ∠ADC = 2α.
  25. ∠HCD = 180° - 90° - 2α = 90° - 2α.
  26. CK — биссектриса, образует с диагональю BD угол 62°.
  27. ∠ABC = 2α. ∠ABD = ∠CBD = α.
  28. ∠BCD = 180° - 2α. ∠BCA = ∠DCA = (180° - 2α)/2 = 90° - α.
  29. CK — биссектриса ∠BCA. ∠BCK = ∠ACK = (90° - α)/2.
  30. Угол между СК и ВД = 62°.
  31. ∠BKC = 62°.
  32. В ∆ BCK: ∠KBC = α. ∠BCK = (90° - α)/2.
  33. ∠BKC = 180° - α - (90° - α)/2 = 180° - α - 45° + α/2 = 135° - α/2.
  34. 62° = 135° - α/2.
  35. α/2 = 135° - 62° = 73°.
  36. α = 146°.
  37. ∠ABC = 2α = 292° (это невозможно).
  38. Значит, угол ABC — тупой, а угол BCD — острый.
  39. Пусть ∠ABC = 180° - 2α (тупой), ∠BCD = 2α (острый).
  40. CH ⊥ AD.
  41. В ∆ CDH: ∠CHD = 90°. ∠CDH = ∠ADC. ∠ADC = ∠ABC = 180° - 2α.
  42. ∠HCD = 180° - 90° - (180° - 2α) = 90° - 180° + 2α = 2α - 90°.
  43. CK — биссектриса, образует с диагональю BD угол 62°.
  44. ∠ABC = 180° - 2α. ∠ABD = ∠CBD = 90° - α.
  45. ∠BCD = 2α. ∠BCA = ∠DCA = α.
  46. CK — биссектриса ∠BCA. ∠BCK = ∠ACK = α/2.
  47. В ∆ BCK: ∠KBC = 90° - α. ∠BCK = α/2.
  48. ∠BKC = 180° - (90° - α) - α/2 = 180° - 90° + α - α/2 = 90° + α/2.
  49. Если ∠BKC = 62°, то 62° = 90° + α/2. α/2 = -28° (невозможно).
  50. Значит, ∠CKD = 62°. ∠BKC = 180° - 62° = 118°.
  51. 118° = 90° + α/2.
  52. α/2 = 118° - 90° = 28°.
  53. α = 56°.
  54. ∠ABC = 180° - 2α = 180° - 112° = 68°. (Острый)
  55. ∠BCD = 2α = 2 * 56° = 112°. (Тупой)
  56. Углы ромба: 68°, 112°, 68°, 112°.
  57. ∠ABC = 68°. ∠BCD = 112°. ∠CDA = 68°. ∠BAD = 112°.
  58. CH ⊥ AD.
  59. В ∆ CDH: ∠CHD = 90°. ∠CDH = ∠ADC = 68°.
  60. ∠HCD = 180° - 90° - 68° = 22°.
  61. Диагональ BD. Угол между CH и BD.
  62. Диагонали ромба перпендикулярны. ∠BOC = 90°.
  63. ∠OBC = ∠ABC / 2 = 68° / 2 = 34°.
  64. ∠OCB = ∠BCD / 2 = 112° / 2 = 56°.
  65. Угол между CH и BD — это угол между CH и OB (или OD).
  66. ∠CHO = 90°. ∠COB = 90°.
  67. Угол между CH и BD равен ∠OCH. (Не верно, O лежит на BD).
  68. Угол между CH и BD равен ∠COH.
  69. Рассмотрим ∆ COH. ∠CHO = 90°. ∠OCH = ∠DCA = 56°.
  70. ∠COH = 180° - 90° - 56° = 34°.
  71. Значит, угол между высотой СН и диагональю ВД равен 34°.

3. Угол между высотой СН и биссектрисой СК:

  1. ∠HCD = 22°.
  2. ∠BCA = 56°. CK — биссектриса ∠BCA.
  3. ∠BCK = ∠ACK = ∠BCA / 2 = 56° / 2 = 28°.
  4. Угол между CH и СК = ∠HCK.
  5. ∠HCK = ∠HCD + ∠DCK.
  6. ∠HCD = 22°. ∠DCK = ∠DCA - ∠KCA = 56° - 28° = 28°.
  7. ∠HCK = 22° + 28° = 50°.
  8. Альтернативно: ∠HCK = ∠HCD - ∠KCD.
  9. ∠HCD = 22°. ∠KCD = ∠DCA - ∠KCA = 56° - 28° = 28°.
  10. ∠HCK = 22° + 28° = 50°.
  11. Другой вариант: ∠HCK = ∠BCH - ∠BCK.
  12. В ∆ BCH: ∠BHC = 90°. ∠CBH = ∠ABC = 68°.
  13. ∠BCH = 180° - 90° - 68° = 22°.
  14. ∠BCK = 28°.
  15. ∠HCK = |∠BCH - ∠BCK| = |22° - 28°| = |-6°| = 6°.
  16. Где ошибка?
  17. Угол между CH и BD — 34°.
  18. Угол между BD и CK — 62°.
  19. Угол между CH и CK = |Угол(CH, BD) - Угол(BD, CK)| или Угол(CH, BD) + Угол(BD, CK).
  20. ∠CHK = 90°.
  21. ∠CKD = 62°.
  22. В ∆ CKD: ∠CKD = 62°. ∠CDK = ∠ADC = 68°.
  23. ∠KCD = 180° - 62° - 68° = 180° - 130° = 50°.
  24. CH ⊥ AD. CK — биссектриса.
  25. ∠HCD = 22°. ∠KCD = 50°.
  26. Угол между CH и CK = ∠HCK = ∠KCD - ∠HCD = 50° - 22° = 28°.
  27. Или ∠HCK = ∠HCD + ∠DCK.
  28. ∠HCD = 22°. ∠DCK = 50°.
  29. ∠HCK = 22° + 50° = 72°.
  30. Ошибка в определении углов.
  31. Вернемся к определению углов ромба:
  32. ∠ABC = 68° (острый). ∠BCD = 112° (тупой).
  33. CH ⊥ AD. В ∆ ABH: ∠BAH = 112°. Это неправильно, ∠BAH = ∠BAD = 112°.
  34. CH — высота к AD. CH ⊥ AD.
  35. В ∆ CDH: ∠CHD = 90°. ∠CDH = ∠ADC = 68°. ∠HCD = 22°.
  36. CK — биссектриса, ∠BCK = ∠ACK.
  37. ∠BCA = ∠DCA = 112°/2 = 56°.
  38. ∠BCK = ∠ACK = 56°/2 = 28°.
  39. Угол между CH и BD.
  40. BD — диагональ. Диагонали перпендикулярны.
  41. ∠BOC = 90°. O — точка пересечения диагоналей.
  42. ∠COB = 90°.
  43. ∠CBO = ∠ABC / 2 = 68° / 2 = 34°.
  44. ∠OCB = ∠BCD / 2 = 112° / 2 = 56°.
  45. CH — высота. CH ⊥ AD.
  46. ∠OCH = ∠ACD = 56°.
  47. Угол между CH и BD = ∠COH.
  48. В ∆ COH: ∠CHO = 90°. ∠OCH = 56°. ∠COH = 180° - 90° - 56° = 34°.
  49. Угол между CH и BD = 34°.
  50. Угол между СК и ВД = 62°.
  51. Угол между CH и СК.
  52. ∠HCK = |∠OCH - ∠OCK|.
  53. ∠OCH = 56°.
  54. ∠OCK = ∠OCD + ∠DCK.
  55. ∠OCD = 56°.
  56. ∠DCK = ∠DCA - ∠KCA = 56° - 28° = 28°.
  57. ∠OCK = 56° + 28° = 84°.
  58. ∠HCK = |56° - 84°| = |-28°| = 28°.
  59. Проверим с помощью ∠CKD = 62°.
  60. В ∆ CKD: ∠CKD = 62°. ∠CDK = ∠ADC = 68°.
  61. ∠KCD = 180° - 62° - 68° = 50°.
  62. ∠HCD = 22°. ∠KCD = 50°.
  63. ∠HCK = ∠KCD - ∠HCD = 50° - 22° = 28°.

Финальный ответ:

  1. Углы ромба: 68°, 112°, 68°, 112°.
  2. Угол между высотой СН и диагональю ВД: 34°.
  3. Угол между высотой СН и биссектрисой СК: 28°.
ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю