В ромбе MFKS диагональ FS = 23, ∠FSM = 60°. Найдите сторону ромба.

Дано: Ромб MFKS, FS = 23, ∠FSM = 60°.

Найти: Сторону ромба.

Решение:

1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Следовательно, MS - биссектриса угла FSM, и ∠FSM = 60°, то ∠FSO = ∠OSM = 60°/2 = 30°.

2. Рассмотрим треугольник FSO. Он прямоугольный, так как диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. SO = FS/2 = 23/2 = 11.5. Угол ∠FSO = 30°.

3. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. В нашем случае SO - катет, лежащий против угла ∠SFO = 30°, а FS - гипотенуза. Следовательно, MS = FS.

4. Чтобы найти сторону MF, рассмотрим прямоугольный треугольник MSO. Знаем, что ∠MSO = 30° и SO = 11.5. Ищем MS (сторону ромба) как гипотенузу. Используем синус угла MSO:

$$\sin(∠MSO) = \frac{SO}{MS}$$ $$\sin(30°) = \frac{11.5}{MS}$$ $$\frac{1}{2} = \frac{11.5}{MS}$$ $$MS = 2 \cdot 11.5 = 23$$

5. Поскольку в ромбе все стороны равны, то MF = FS = SK = KM = 23.

Ответ: 23