В ромбе MPHK диагонали пересекаются в точке O. На сторонах MK, KH, PH взяты точки A, B, C соответственно, AK = KB = PC. Докажите, что OA = OB, и найдите сумму углов POC и MOA.

Пусть \(AK=KB=PC=t\), а длина стороны ромба равна \(l\). Выберем координаты с центром ромба в точке \(O\), направив оси вдоль диагоналей. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому можно записать: \(M(-x,0)\), \(H(x,0)\), \(P(0,y)\), \(K(0,-y)\).

Поскольку точки \(A\) и \(B\) отстоят от \(K\) на одинаковую долю стороны, а стороны \(MK\) и \(KH\) симметричны относительно оси \(OK\), их координаты имеют вид \(A=(-sx,-(1-s)y)\), \(B=(sx,-(1-s)y)\), где \(s=\frac{t}{l}\). Поэтому

\[OA^2=s^2x^2+(1-s)^2y^2=OB^2,\]

откуда \(OA=OB\).

Точка \(C\) лежит на стороне \(PH\), причём \(PC=t\), поэтому \(C=(sx,(1-s)y)\). Обозначим через \(\alpha\) угол между лучом \(OP\) и лучом \(OC\), то есть \(\angle POC\). По координатам

\[\tan\alpha=\frac{sx}{(1-s)y}.\]

Угол \(\beta=\angle MOA\) образован лучом \(OM\), направленным влево, и лучом \(OA\,;\) из координат точки \(A\) получаем

\[\tan\beta=\frac{(1-s)y}{sx}.\]

Следовательно, \(\tan\alpha\tan\beta=1\). Оба угла острые, значит, они дополняют друг друга до прямого угла.

Ответ: \(OA=OB\), \(\angle POC+\angle MOA=90^\circ\).