В ромбе острый угол 60°, большая диагональ равна 18. Найдите периметр ромба.

Решение:

В ромбе диагонали точкой пересечения делятся пополам и перпендикулярны друг другу. Также диагонали являются биссектрисами углов ромба.

Рассмотрим треугольник, образованный стороной ромба \(a\), половиной большей диагонали \(\frac{d_1}{2}\) и половиной меньшей диагонали \(\frac{d_2}{2}\). Угол между сторонами ромба равен 60°, значит, диагональ, исходящая из вершины этого угла, делит его пополам, образуя углы по 30°.

Большая диагональ \(d_1 = 18\). Следовательно, \(\frac{d_1}{2} = \frac{18}{2} = 9\).

В прямоугольном треугольнике, образованном стороной ромба, половиной большей диагонали и половиной меньшей диагонали, один из острых углов равен \(\frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\). Напротив этого угла лежит половина меньшей диагонали \(\frac{d_2}{2}\), а гипотенузой является сторона ромба \(a\).

По теореме синусов в этом треугольнике:

\(\sin(30^\circ) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{d_2/2}{a}\)

\(\cos(30^\circ) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{d_1/2}{a}\)

Мы знаем, что \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(d_1/2 = 9\).

\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{a}\)

Отсюда находим сторону ромба \(a\):

\[ a = \frac{9 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \]

Периметр ромба равен удвоенному произведению стороны ромба на 4:

\[ P = 4a = 4 \cdot 6\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \]

Ответ: периметр ромба равен \(24\sqrt{3}\).