631 В ромбе высота, равная$$\frac{4\sqrt{2}}{6}$$ см, составляет $$\frac{2}{3}$$ большей диаго- нали. Найдите площадь ромба.

1) Обозначим большую диагональ ромба за $$d_1$$. Тогда, по условию задачи, имеем:

$$\frac{2}{3}d_1 = \frac{4\sqrt{2}}{6}$$

Выразим $$d_1$$:

$$d_1 = \frac{4\sqrt{2}}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{12} = \sqrt{2} \text{ см}$$

2) Площадь ромба можно найти, как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне, или как половину произведения диагоналей:

$$S = a \cdot h = \frac{1}{2} d_1 d_2$$

где $$a$$ - сторона ромба, $$h$$ - высота, $$d_1, d_2$$ - диагонали.

Нам известна высота и большая диагональ, поэтому выразим сторону ромба через высоту:

$$a = \frac{S}{h}$$

Используем формулу площади ромба через диагонали:

$$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$$

Выразим $$d_2$$ через $$S$$ и $$d_1$$:

$$d_2 = \frac{2S}{d_1}$$

Площадь ромба равна произведению высоты на сторону ромба. Так как высота составляет $$\frac{2}{3}$$ большей диагонали, то $$h=\frac{4\sqrt{2}}{6}$$ см. Большая диагональ $$d_1=\sqrt{2}$$ см.

Площадь ромба можно найти, умножив высоту на сторону ромба, но сторона ромба нам неизвестна. С другой стороны, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Из условия задачи нам известна большая диагональ, тогда нам нужно найти меньшую диагональ.

В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Пусть половина большей диагонали равна $$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$, а половина меньшей диагонали равна $$y$$. Тогда сторона ромба $$a = \sqrt{x^2+y^2}$$.

Получим, что площадь ромба $$S=h \cdot a= \frac{4\sqrt{2}}{6}a$$. Площадь также равна половине произведения диагоналей $$S=\frac{1}{2} d_1 d_2=\frac{1}{2} \sqrt{2} d_2$$.

Приравняем оба выражения площади: $$\frac{4\sqrt{2}}{6}a = \frac{1}{2} \sqrt{2} d_2$$. Выразим $$d_2$$: $$d_2=\frac{4\sqrt{2}}{6}a \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{4}{3}a$$

Мы знаем, что $$a = \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+(\frac{d_2}{2})^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{d_2^2}{4}}$$.

Подставим $$d_2=\frac{4}{3}a$$ в предыдущее уравнение: $$a = \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{(\frac{4}{3}a)^2}{4}}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{16a^2}{36}}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{4a^2}{9}}$$

Возведем обе части в квадрат: $$a^2 = \frac{1}{2}+\frac{4a^2}{9}$$

Умножим обе части уравнения на 18: $$18a^2=9+8a^2$$, тогда $$10a^2=9$$, $$a^2=\frac{9}{10}$$, $$a=\sqrt{\frac{9}{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}$$

Найдем площадь ромба: $$S=h \cdot a= \frac{4\sqrt{2}}{6} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{12\sqrt{2}}{6\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

Ответ:$$\frac{2\sqrt{5}}{5}$$