В руках любопытного экспериментатора оказался кубик из неизвестного материала, а из измерительных приборов — одни только динамометры. Пытаясь определить его плотность, он соорудил весы, изображённые на рисунке к задаче, длина и масса каждого окрашенного сегмента которых одинакова. На одну сторону весов он повесил исследуемый кубик, а на другую — алюминиевый кубик с плотностью \(\rho_0=2{,}7\ \text{г/см}^3\), точно такого же размера. Оказалось, что чтобы удерживать весы в изображённом равновесии, пришлось дополнительно приложить к алюминиевому кубику силу \(F\), направленную вертикально вниз (красная стрелка на рисунке). Если же одновременно полностью погрузить оба кубика в воду (плотность \(\rho=1\ \text{г/см}^3\)) — чтобы удержать весы в равновесии снова приходится приложить такую же по величине и направлению силу, но теперь уже на неизвестный кубик (синяя стрелка на рисунке). Определите плотность неизвестного материала. Дайте ответ в г/см³, округлив до сотых.

По рисунку плечо неизвестного кубика в три раза больше плеча алюминиевого: расстояния от опоры составляют соответственно три и два одинаковых сегмента. Моментами собственного веса весов пренебрегаем: их влияние одинаково в обоих состояниях и исключается при сравнении.

Обозначим объём каждого кубика через \(V\), плотность неизвестного материала — через \(\rho_x\), а плотность воды — через \(\rho_в=1\ \text{г/см}^3\).

1. На воздухе условие равновесия моментов относительно опоры:

   \(3\rho_x Vg=2(\rho_0Vg+F)\).

2. Когда оба кубика погружены в воду, на каждый действует выталкивающая сила \(\rho_вVg\). Теперь дополнительная сила приложена к неизвестному кубику, поэтому:

   \(3(\rho_xVg-\rho_вVg+F)=2(\rho_0Vg-\rho_вVg)\).

3. Из первого равенства \(F=\frac{3\rho_x-2\rho_0}{2}Vg\). Подставим это во второе и сократим на \(Vg\):

   \(3(\rho_x-\rho_в)+\frac{3(3\rho_x-2\rho_0)}{2}=2(\rho_0-\rho_в)\).

4. После упрощения получаем \(15\rho_x=10\rho_0+2\rho_в\), следовательно:

   \(\rho_x=\frac{10\cdot2{,}7+2\cdot1}{15}=\frac{29}{15}\approx1{,}93\ \text{г/см}^3\).

Ответ: 1,93 г/см³.