В ряд записаны последовательные целые числа. Сумма всех чисел в ряду не меньше 100 и не больше 110. Какое наибольшее количество чисел может быть в ряду?

Для решения задачи необходимо подобрать последовательность целых чисел, сумма которых находится в заданном диапазоне [100; 110], и при этом количество чисел в последовательности было максимальным.

Рассмотрим последовательность чисел, начинающуюся с наименьшего возможного целого числа, чтобы включить как можно больше чисел в ряд.

Пусть ряд начинается с числа 1. Тогда сумма первых n чисел равна $$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$$.

Нужно найти такое n, чтобы $$100 \le S_n \le 110$$.

Проверим несколько значений n:

• n = 13: $$S_{13} = \frac{13 \times 14}{2} = 91$$ (не подходит)
• n = 14: $$S_{14} = \frac{14 \times 15}{2} = 105$$ (подходит)
• n = 15: $$S_{15} = \frac{15 \times 16}{2} = 120$$ (не подходит)

Следовательно, ряд от 1 до 14 имеет сумму 105, что находится в заданном диапазоне. Количество чисел в этом ряду равно 14.

Теперь попробуем составить ряд, начиная с большего числа, чтобы найти, возможно, более длинный ряд, удовлетворяющий условиям. Например, начнем с 2.

Чтобы получить сумму в диапазоне [100; 110], числа должны быть меньше, чем в предыдущем случае. Если начать с малых чисел, сумма быстро превысит 110. Рассмотрим такой вариант:

Пусть ряд начинается с числа x, и состоит из k последовательных чисел. Тогда сумма этого ряда равна: $$S = x + (x+1) + (x+2) + ... + (x+k-1) = kx + \frac{k(k-1)}{2}$$

$$100 \le kx + \frac{k(k-1)}{2} \le 110$$

Перебором находим:

Рассмотрим ряд из 10 чисел, начинающийся с 6: 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 105. Длина ряда 10.

Рассмотрим ряд из 11 чисел, начинающийся с 5: 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 110. Длина ряда 11.

Рассмотрим ряд из 12 чисел, начинающийся с 3: 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 102. Длина ряда 12.

Рассмотрим ряд из 13 чисел, начинающийся с 2: 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 104. Длина ряда 13.

Рассмотрим ряд из 14 чисел, начинающийся с 1: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 105. Длина ряда 14.

Ответ: 14