5. В саду растут яблони, груши и сливы. Яблони составляют \frac{7}{16} всех деревьев, груши - \frac{8}{15} остальных деревьев, а слив – 42 дерева. Сколько всего деревьев в саду?

Краткая запись:

Яблони - \(\frac{7}{16}\) всех деревьев

Груши - \(\frac{8}{15}\) остальных деревьев

Сливы - 42 дерева

Всего - ? деревьев

Решение:

Пусть \(x\) - всего деревьев в саду.

Тогда яблони составляют \(\frac{7}{16}x\), а остальные деревья \(x - \frac{7}{16}x = \frac{16}{16}x - \frac{7}{16}x = \frac{9}{16}x\).

Груши составляют \(\frac{8}{15}\) от остальных, то есть \(\frac{8}{15} \cdot \frac{9}{16}x = \frac{8 \cdot 9}{15 \cdot 16}x = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 2}x = \frac{3}{10}x\).

Сливы составляют 42 дерева. Составим уравнение:

\(\frac{7}{16}x + \frac{3}{10}x + 42 = x\)

Перенесем все слагаемые с переменной \(x\) в правую часть уравнения:

\(42 = x - \frac{7}{16}x - \frac{3}{10}x\)

Приведем дроби к общему знаменателю 80:

\(42 = \frac{80}{80}x - \frac{7 \cdot 5}{16 \cdot 5}x - \frac{3 \cdot 8}{10 \cdot 8}x\)

\(42 = \frac{80}{80}x - \frac{35}{80}x - \frac{24}{80}x\)

Приведем подобные слагаемые:

\(42 = (\frac{80}{80} - \frac{35}{80} - \frac{24}{80})x\)

\(42 = \frac{21}{80}x\)

Выразим \(x\):

\(x = 42 : \frac{21}{80}\)

\(x = 42 \cdot \frac{80}{21}\)

\(x = \frac{42 \cdot 80}{21}\)

\(x = \frac{2 \cdot 80}{1}\)

\(x = 160\)

Значит, всего в саду 160 деревьев.

Ответ: 160 деревьев.