V. Самостоятельная работа (20 мин) Варианты по уровням сложности: Вариант 1 (базовый): 1. √2x + 1 = 3; 2. √x² - 9 = x - 3. Вариант 2 (повышенный): 1. √x + 4 = x - 2; 2. √x + 3 + √x - 1 = 4. Критерии оценки: • 2 верных решения — «5»; • 1 верное + ошибки во втором — «4»; • 1 верное без проверки — «3».

Решение:

Вариант 1 (базовый):

1. \(\sqrt{2x + 1} = 3\)

   Возведём обе части уравнения в квадрат:

   \[ (\sqrt{2x + 1})^2 = 3^2 \] \[ 2x + 1 = 9 \] \[ 2x = 9 - 1 \] \[ 2x = 8 \] \[ x = \frac{8}{2} \] \[ x = 4 \]

   Проверка: \(\sqrt{2 \cdot 4 + 1} = \sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} = 3\). Верно.

2. \(\sqrt{x^2 - 9} = x - 3\)

   Для того чтобы корень был определён, необходимо \(x^2 - 9 \ge 0\), то есть \((x-3)(x+3) \ge 0\), что выполняется при \(x \le -3\) или \(x \ge 3\).

   Также, так как правая часть уравнения равна корню, она не может быть отрицательной: \(x - 3 \ge 0\), то есть \(x \ge 3\). Объединяя условия, получаем \(x \ge 3\).

   Возведём обе части уравнения в квадрат:

   \[ (\sqrt{x^2 - 9})^2 = (x - 3)^2 \] \[ x^2 - 9 = x^2 - 6x + 9 \] \[ -9 = -6x + 9 \] \[ 6x = 9 + 9 \] \[ 6x = 18 \] \[ x = \frac{18}{6} \] \[ x = 3 \]

   Проверка: \(\sqrt{3^2 - 9} = \sqrt{9 - 9} = \sqrt{0} = 0\). Правая часть: \(3 - 3 = 0\). Верно.

Вариант 2 (повышенный):

1. \(\sqrt{x + 4} = x - 2\)

   Условия: \(x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4\) и \(x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2\). Объединяем: \(x \ge 2\).

   Возведём обе части уравнения в квадрат:

   \[ (\sqrt{x + 4})^2 = (x - 2)^2 \] \[ x + 4 = x^2 - 4x + 4 \] \[ 0 = x^2 - 4x - x \] \[ 0 = x^2 - 5x \] \[ x(x - 5) = 0 \]

   Получаем два корня: \(x = 0\) и \(x = 5\). Учитывая условие \(x \ge 2\), подходит только \(x = 5\).

   Проверка: \(\sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3\). Правая часть: \(5 - 2 = 3\). Верно.

2. \(\sqrt{x + 3} + \sqrt{x - 1} = 4\)

   Условия: \(x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3\) и \(x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1\). Объединяем: \(x \ge 1\).

   Возведём обе части уравнения в квадрат:

   \[ (\sqrt{x + 3} + \sqrt{x - 1})^2 = 4^2 \] \[ (x + 3) + 2\sqrt{(x + 3)(x - 1)} + (x - 1) = 16 \] \[ 2x + 2 + 2\sqrt{x^2 + 2x - 3} = 16 \] \[ 2\sqrt{x^2 + 2x - 3} = 16 - 2x - 2 \] \[ 2\sqrt{x^2 + 2x - 3} = 14 - 2x \]

   Разделим обе части на 2:

   \[ \sqrt{x^2 + 2x - 3} = 7 - x \]

   Теперь нужно учесть условие \(7 - x \ge 0 \implies x \le 7\). Объединяя с \(x \ge 1\), получаем \(1 \le x \le 7\).

   Возведём обе части в квадрат:

   \[ (\sqrt{x^2 + 2x - 3})^2 = (7 - x)^2 \] \[ x^2 + 2x - 3 = 49 - 14x + x^2 \] \[ 2x - 3 = 49 - 14x \] \[ 2x + 14x = 49 + 3 \] \[ 16x = 52 \] \[ x = \frac{52}{16} \] \[ x = \frac{13}{4} \] \[ x = 3.25 \]

   Значение \(x = 3.25\) удовлетворяет условию \(1 \le x \le 7\).

   Проверка: \(\sqrt{3.25 + 3} + \sqrt{3.25 - 1} = \sqrt{6.25} + \sqrt{2.25} = 2.5 + 1.5 = 4\). Верно.

Критерии оценки:

• 2 верных решения — «5»;
• 1 верное + ошибки во втором — «4»;
• 1 верное без проверки — «3».