V. Самостоятельная работа І уровень І вариант 1. Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность радиу- са 6 см. Найдите его сторону. 2. Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вписан в окружность. Найдите его радиус. II вариант 1. Равносторонний треугольник MNK со стороной 8 см вписан в окружность. Найдите его радиус. 2. Прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса 6,5 см. Найдите площадь треугольника, если один из его катетов равен 5 см.

Решение:

Вариант I

1. Нахождение стороны равностороннего треугольника:
• Равносторонний треугольник вписан в окружность. Радиус описанной окружности (\(R\)) связан со стороной (\(a\)) равностороннего треугольника формулой:

\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

• Нам дан радиус (\(R = 6 \text{ см}\)). Чтобы найти сторону (\(a\)), преобразуем формулу:

\[ a = R \sqrt{3} \]

\[ a = 6 \sqrt{3} \text{ см} \]

2. Нахождение радиуса прямоугольного треугольника:
• Прямоугольный треугольник вписан в окружность. Гипотенуза (\(c\)) прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности.
• Найдем гипотенузу по теореме Пифагора:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

\[ c^2 = 6^2 + 8^2 \]

\[ c^2 = 36 + 64 \]

\[ c^2 = 100 \]

\[ c = \sqrt{100} = 10 \text{ см} \]

• Диаметр окружности равен гипотенузе, значит, диаметр (\(d = 10 \text{ см}\)).
• Радиус окружности равен половине диаметра:

\[ R = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см} \]

Вариант II

1. Нахождение радиуса равностороннего треугольника:
• Равносторонний треугольник MNK имеет сторону (\(a = 8 \text{ см}\)).
• Используем ту же формулу, что и в первом задании для нахождения радиуса описанной окружности:

\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

\[ R = \frac{8}{\sqrt{3}} \text{ см} \]

Для удобства можно избавиться от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\):

\[ R = \frac{8 \sqrt{3}}{3} \text{ см} \]

2. Нахождение площади прямоугольного треугольника:
• Прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса (\(R = 6.5 \text{ см}\)).
• Диаметр окружности равен:

\[ d = 2R = 2 \times 6.5 = 13 \text{ см} \]

• Диаметр окружности, в которую вписан прямоугольный треугольник, равен его гипотенузе. Следовательно, гипотенуза (\(c = 13 \text{ см}\)).
• Один из катетов дан: (\(a = 5 \text{ см}\)).
• Найдем второй катет (\(b\)) по теореме Пифагора:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

\[ 13^2 = 5^2 + b^2 \]

\[ 169 = 25 + b^2 \]

\[ b^2 = 169 - 25 = 144 \]

\[ b = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \]

• Площадь прямоугольного треугольника (\(S\)) вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{1}{2}ab \]

\[ S = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 \]

\[ S = \frac{1}{2} \times 60 = 30 \text{ см}^2 \]

Ответы:

• I вариант:
• 1. Сторона равностороннего треугольника: \(6 \sqrt{3} \text{ см}\).
• 2. Радиус окружности: \(5 \text{ см}\).
• II вариант:
• 1. Радиус окружности: \(\frac{8 \sqrt{3}}{3} \text{ см}\).
• 2. Площадь треугольника: \(30 \text{ см}^2\).