В сектор круга радиуса 1 с углом 90° вписали квадрат так, что две его вершины лежат на окружности. Найдите площадь квадрата.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Обозначим сторону квадрата за a. Диагональ квадрата, соединяющая две вершины на окружности, равна радиусу круга, то есть 1.
• Шаг 2: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной диагонали квадрата, стороной квадрата и радиусом круга. По теореме Пифагора: \[\left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2 = 1^2\] \[\frac{a^2}{4} + a^2 = 1\] \[\frac{5a^2}{4} = 1\]
• Шаг 3: Найдем сторону квадрата a: \[a^2 = \frac{4}{5}\] \[a = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\]
• Шаг 4: Площадь квадрата S равна квадрату его стороны: \[S = a^2 = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{4}{5} = 0.8\]

Ответ: 0.8