В семи ящиках лежат красные, синие и белые шары. Число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках. А число белых шаров в каждом ящике равно общему числу красных шаров во всех остальных ящиках. Сколько всего шаров лежит в ящиках, если известно, что их количество чётно и меньше 100?

Пусть: $$k_i$$ - количество красных шаров в $$i$$-м ящике, $$s_i$$ - количество синих шаров в $$i$$-м ящике, $$b_i$$ - количество белых шаров в $$i$$-м ящике. По условию задачи: 1. $$s_i = \sum_{j=1, j
eq i}^{7} b_j$$ (число синих шаров в $$i$$-м ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках). 2. $$b_i = \sum_{j=1, j
eq i}^{7} k_j$$ (число белых шаров в $$i$$-м ящике равно общему числу красных шаров во всех остальных ящиках). Суммируем первое уравнение по всем $$i$$ от 1 до 7: $$\sum_{i=1}^{7} s_i = \sum_{i=1}^{7} \sum_{j=1, j
eq i}^{7} b_j = \sum_{i=1}^{7} (\sum_{j=1}^{7} b_j - b_i) = 7 \sum_{j=1}^{7} b_j - \sum_{i=1}^{7} b_i = 6 \sum_{i=1}^{7} b_i$$ Обозначим $$S = \sum_{i=1}^{7} s_i$$, $$B = \sum_{i=1}^{7} b_i$$, $$K = \sum_{i=1}^{7} k_i$$. Тогда $$S = 6B$$. Аналогично, суммируя второе уравнение по всем $$i$$ от 1 до 7: $$\sum_{i=1}^{7} b_i = \sum_{i=1}^{7} \sum_{j=1, j
eq i}^{7} k_j = \sum_{i=1}^{7} (\sum_{j=1}^{7} k_j - k_i) = 7 \sum_{j=1}^{7} k_j - \sum_{i=1}^{7} k_i = 6 \sum_{i=1}^{7} k_i$$ То есть $$B = 6K$$. Общее количество шаров $$T = S + B + K$$. Подставим $$S = 6B$$ и $$B = 6K$$: $$T = 6B + B + K = 7B + K = 7(6K) + K = 42K + K = 43K$$ Так как $$T$$ должно быть чётным и меньше 100, а $$K$$ - целое число, то $$43K < 100$$ и $$43K$$ - чётное. Возможные значения для $$K$$: если $$K=1$$, то $$T = 43$$, не подходит (нечётное). Если $$K=2$$, то $$T = 43 cdot 2 = 86$$. Это чётное число и меньше 100. Подходит. Если $$K=3$$, то $$T = 43 cdot 3 = 129$$, что больше 100, не подходит. Таким образом, $$K=2$$ и $$T=86$$. Ответ: 86