В серии из 9 испытаний Бернулли с вероятностью успеха p = 0.5, найдите вероятность менее 3 успехов. Результаты округлите до тысячных.

Решение:

Это задача на биномиальное распределение. Формула для биномиального распределения:

\[ P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

Где:

• \( n \) — количество испытаний (n = 9)
• \( k \) — количество успехов
• \( p \) — вероятность успеха в одном испытании (p = 0.5)
• \( 1-p \) — вероятность неудачи в одном испытании (1 - 0.5 = 0.5)
• \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — число сочетаний

Нам нужно найти вероятность менее 3 успехов, то есть \( P(X < 3) \), что равно \( P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \).

1. Вероятность 0 успехов (k=0):
   \( P(X=0) = C_9^0 \cdot (0.5)^0 \cdot (0.5)^{9-0} = 1 \cdot 1 \cdot (0.5)^9 = \frac{1}{512} \approx 0.00195 \)
2. Вероятность 1 успеха (k=1):
   \( P(X=1) = C_9^1 \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^{9-1} = 9 \cdot 0.5 \cdot (0.5)^8 = 9 \cdot \frac{1}{512} = \frac{9}{512} \approx 0.01758 \)
3. Вероятность 2 успехов (k=2):
   \( P(X=2) = C_9^2 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{9-2} = \frac{9!}{2!7!} \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^7 = 36 \cdot (0.5)^9 = 36 \cdot \frac{1}{512} = \frac{36}{512} \approx 0.07031 \)
4. Суммируем вероятности:
   \( P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \approx 0.00195 + 0.01758 + 0.07031 \approx 0.08984 \)
5. Округляем до тысячных:
   \( 0.08984 \approx 0.090 \)

Ответ: 0.090