В шахматном кружке проводился турнир в средней группе обучающихся, в рамках которого каждый участник играл с каждым другим по две партии (одну белыми фигурами, а другую — чёрными). За победу начислялось 2 очка, за ничью — 1 очко, за поражение 0 очков. Всего в турнире участвовало пять ребят. Игорь занял второе место, набрав больше очков, чем Руслан, Люда и Вова вместе взятые. Сколько очков набрала Оля, занявшая первое место?

Здравствуйте, ребята! Давайте разберем эту интересную задачу по шахматному турниру. 1. Определим общее количество партий. В турнире участвовало 5 ребят. Каждый сыграл с каждым другим по 2 партии. Чтобы узнать общее количество партий, нужно сначала определить, сколько партий сыграл бы каждый, если бы играл с каждым по одной партии. Это можно рассчитать по формуле: $$\frac{n \cdot (n - 1)}{2}$$, где $$n$$ - количество участников. В нашем случае $$n = 5$$, поэтому: $$\frac{5 \cdot (5 - 1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$$ Так как каждый сыграл по две партии (одну белыми, другую черными), то общее количество партий: $$10 \cdot 2 = 20$$ партий. 2. Определим общее количество очков. В каждой партии разыгрывается 2 очка (если победа) или 2 очка (если ничья). Таким образом, в 20 партиях разыграно: $$20 \cdot 2 = 40$$ очков. *Замечание:* здесь мы допускаем, что все партии заканчиваются либо победой одного из игроков, либо ничьей. Это возможно, так как в условии не сказано, что кому-то присуждались какие-либо штрафные очки или были какие-то особые правила. 3. Определение количества очков Игоря, Руслана, Люды и Вовы. Из условия сказано, что Игорь занял второе место и набрал больше очков, чем Руслан, Люда и Вова вместе взятые. Пусть количество очков, которое набрали Руслан, Люда и Вова вместе, будет $$x$$. Тогда Игорь набрал $$x + y$$ очков, где $$y > 0$$. 4. Составление уравнения и решение. Пусть Оля, занявшая первое место, набрала $$z$$ очков. Тогда общее количество очков можно представить как: $$z + (x + y) + x = 40$$ $$z + 2x + y = 40$$ Из условия известно, что Игорь занял второе место, значит, Оля набрала больше очков, чем Игорь. Следовательно, $$z > x + y$$. 5. Анализ возможных вариантов. Так как $$z, x, y$$ - целые числа (количество очков), то нужно подобрать такие значения, чтобы выполнялись условия задачи. Заметим, что минимальное количество очков, которое мог набрать Игорь (чтобы быть больше суммы очков Руслана, Люды и Вовы), должно быть хотя бы больше, чем треть от общего количества очков, набранных Русланом, Людой и Вовой. Это значит, что $$x + y > x/3 + x/3 + x/3$$. Предположим, что Руслан, Люда и Вова набрали одинаковое количество очков $$x = 9$$. Тогда вместе они набрали 9 очков. Игорь набрал больше, чем 9 очков. Пусть Игорь набрал 10 очков (то есть $$x + y = 10$$). Тогда Оля набрала: $$z = 40 - 2x - y = 40 - 2 \cdot 9 - 1 = 40 - 18 - 1 = 21$$ Однако $$z$$ должно быть больше, чем $$x + y = 10$$, но меньше, чем $$40 - 9 - 9 = 22$$. Значит, Оля набрала 21 очко. Если Руслан, Люда и Вова набрали вместе 8 очков, то Игорь набрал 9 очков. Оля набрала $$z = 40 - 8 - 9 = 23$$ очка. Если Руслан, Люда и Вова набрали вместе 7 очков, то Игорь набрал 8 очков. Оля набрала $$z = 40 - 7 - 8 = 25$$ очков. 6. Уточнение условия. В условии сказано, что Игорь набрал *больше* очков, чем Руслан, Люда и Вова *вместе взятые*. Это означает, что $$x + y > x$$. То есть, $$y$$ должно быть больше 0. Теперь допустим, что Игорь набрал ровно половину от 40. То есть $$x+y = 20$$. Тогда $$x = 0$$, $$y = 20$$? Оля набрала $$z = 40 - (x + y) - x = 40 - 20 - 0 = 20$$ очков. Но ведь Оля заняла первое место, а Игорь - второе. Не может такого быть. Предположим, что у Игоря - 11 очков, у троих других - 10. Тогда Оля - $$40 - 11 - 10 = 19$$. Так как Игорь набрал больше очков, чем Руслан, Люда и Вова вместе взятые, то у него должно быть как минимум 11 очков, если у остальных в сумме 10. Если Оля набрала 12 очков, тогда у Игоря больше, чем у остальных вместе. Попробуем такой вариант: Оля: 21 очко Игорь: 11 очков Руслан, Люда, Вова вместе: 8 очков. Итого: $$21 + 11 + 8 = 40$$. Игорь набрал больше, чем сумма очков остальных троих. Ответ: 21 очко.