В шахматном турнире принимали участие 10 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

Задача на комбинаторику, а именно на сочетания. Нужно найти количество сочетаний из 10 по 2, так как каждая партия играется между двумя шахматистами. Формула для сочетаний: $$\displaystyle C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ В нашем случае n = 10, k = 2. Подставляем значения в формулу: $$\displaystyle C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = \frac{90}{2} = 45$$ Всего было сыграно 45 партий. Ответ: 45